Número primo de Wolstenholme

En teoría de números, un primo de Wolstenholm es cualquier número primo que satisface la comparación fuerte del teorema de Wolstenholm . En este caso, la comparación original del teorema de Wolstenholm se cumple con todos los números primos excepto 2 y 3. Los números primos de Wolstenholm llevan el nombre del matemático Joseph Wolstenholm , quien demostró por primera vez el teorema en el siglo XIX.

El interés por estos números primos surgió por su conexión con el último teorema de Fermat .

Solo se conocen dos primos de Wolstenholm, son 16843 y 2124679 (secuencia A088164 en OEIS ). No hay otros números primos de Wolstenholm menores que 10 9 [1] .

Definiciones

El número primo de Wolstenholme se puede definir de varias formas equivalentes.

A través de coeficientes binomiales

Un número primo de Wolstenholme es un número primo que satisface la comparación

donde la expresión del lado izquierdo denota el coeficiente binomial [2] . Compare con el teorema de Wolstenholme , que establece que para cualquier número primo p  > 3, se cumple la siguiente comparación:

A través de los números de Bernoulli

Un primo de Wolstenholm es un número primo p que divide (sin resto) el numerador del número de Bernoulli B p −3 [3] [4] [5] . Así, los primos de Wolstenholme son un subconjunto de los primos irregulares .

A través de pares irregulares

Un número primo de Wolstenholme p  es un número primo tal que ( p , p -3) es un par irregular [6] [7] .

A través de números armónicos

Un número primo de Wolstenholme p  es un número primo tal que [8]

es decir, el numerador del número armónico es divisible por p 3 .

Búsqueda y estado actual

La búsqueda de números primos de Wolstenholm comenzó en la década de 1960 y continúa hasta el día de hoy. El último resultado se publicó en 2007. El primer primo de Wolstenholm 16843 se encontró en 1964, aunque el resultado no se publicó explícitamente [9] . El hallazgo de 1964 fue luego confirmado de forma independiente en la década de 1970 . Este número siguió siendo el único ejemplo conocido de tales números durante casi 20 años, hasta que se anunció el descubrimiento del segundo primo de Wolstenholme 2124679 en 1993 [10] . En ese momento, hasta 1.2⋅10 7 no se encontró un solo número de Wolstenholm, excepto los dos mencionados [11] . Posteriormente, McIntosh elevó el límite a 2⋅10 8 en 1995 [4] , mientras que Trevisan y Weber pudieron alcanzar 2,5⋅10 8 [12] . El último resultado se registró en 2007: hasta 1⋅10 9 no se encontraron números primos de Wolstenholm [13] .

Cantidad esperada

Existe la conjetura de que hay infinitos números primos de Wolstenholme. También se supone que el número de primos de Wolstenholme que no exceda x debe ser del orden de ln ln x , donde ln denota el logaritmo natural . Para cualquier número primo p  ≥ 5 , el cociente de Wolstenholm es

Es claro que p es un primo de Wolstenholme si y solo si W p  ≡ 0 (mod  p ). A partir de observaciones empíricas , podemos suponer que el resto W p módulo p se distribuye uniformemente en el conjunto {0, 1, ..., p -1}. Por estas razones, la probabilidad de obtener un cierto resto (por ejemplo, 0) debería estar alrededor de 1/ p [4] .

Véase también

• numero wilson
• Fibonacci Prime - Wiferich
• Primer Wieferich

Notas

1. ↑ Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime  en el sitio web Wolfram MathWorld .
2. ↑ Cook, J.D. Coeficientes binomiales . Fecha de acceso: 21 de diciembre de 2010. Archivado desde el original el 29 de enero de 2013. (indefinido)
3. ↑ Clarke & Jones, 2004 , pág. 553
4. ↑ 1 2 3 McIntosh, 1995 , pág. 387.
5. ↑ Zhao, 2008 , pág. 25
6. ↑ Johnson, 1975 , pág. 114.
7. ↑ Bühler et al. (1993) , pág. 152.
8. ↑ Zhao, 2007 , pág. Dieciocho.
9. ↑ Selfridge y Pollack publicaron el primer número primo de Wolstenholm en Selfridge & Pollack, 1964 , p. 97 (ver McIntosh & Roettger, 2007 , p. 2092).
10. ↑ Ribenboim, 2004 , pág. 23
11. ↑ Zhao, 2007 , pág. 25
12. ↑ Trevisan y Weber (2001) , pág. 283–284.
13. ↑ McIntosh y Roettger (2007) , pág. 2092.

Literatura

• Selfridge, JL & Pollack, BW (1964), el último teorema de Fermat es cierto para cualquier exponente hasta 25,000, Notices of the American Mathematical Society vol . 11: 97 
• Johnson, W. (1975), Números primos irregulares e invariantes ciclotómicos , Matemáticas de computación Vol . 29 (129): 113–120 , < http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025 -5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf > Archivado el 20 de diciembre de 2010. 
• Bühler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R. y Metsänkylä, T. (1993), Números primos irregulares e invariantes ciclotómicos hasta cuatro millones , Matemáticas de la computación Vol . 61 (203): 151–153 , < http://www.ams.org/journals/mcom /1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf > Archivado el 12 de noviembre de 2010. 
• McIntosh, RJ (1995), A la inversa del teorema de Wolstenholme , Acta Arithmetica Vol. 71: 381–389 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf > arch. 
• Trevisan, V. & Weber, K.E. (2001), Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem , Matemática Contemporânea T. 21: 275–286 , < http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/ 000317407.pdf?sequence=1 > Archivado el 10 de diciembre de 2010. 
• Ribenboim, P. (2004), Capítulo 2. Cómo reconocer si un número natural es un número primo , The Little Book of Bigger Primes , Nueva York: Springer-Verlag New York, Inc., archivo ISBN 0-387-20169-6 . 
• Clarke, F. & Jones, C. (2004), A Congruence for Factorials , Bulletin of the London Mathematical Society, volumen 36 (4): 553–558, doi : 10.1112/S0024609304003194 , < http://blms.oxfordjournals. org/content/36/4/553.full.pdf > Archivado el 2 de enero de 2011. 
• McIntosh, RJ & Roettger, EL (2007), A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes , Mathematics of Computation Vol. 76: 2087–2094, doi : 10.1090/ S0025-5718-07-01955-2 , > arch. 
• Zhao, J. (2007), números de Bernoulli, teorema de Wolstenholme y variaciones p 5 del teorema de Lucas , Journal of Number Theory vol 123: 18–26, doi : 10.1016/j.jnt.2006.05.005 , < http: //home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf > Archivado el 12 de noviembre de 2010. 
• Zhao, J. (2008), Teorema de tipo de Wolstenholme para sumas armónicas múltiples , International Journal of Number Theory vol.4 (1): 73–106 , < http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT. pdf > arq. 
• Krattenthaler, C. & Rivoal, T. (2009), Sobre la integralidad de los coeficientes de Taylor de los mapas de espejos, II, Communications in Number Theory and Physics vol.3 
• Babbage, C. (1819), Demostración de un teorema relativo a los números primos , The Edinburgh Philosophical Journal vol 1: 46–49 , < https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 > 
• Wolstenholme, J. (1862), Sobre ciertas propiedades de los números primos , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , volumen 5:35–39 , < https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35# v=unapágina&q&f=falso > 

Enlaces

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme primo  - del libro de referencia de números primos
• McIntosh, RJ Wolstenholme Estado de búsqueda en marzo de 2004 Correo electrónico a Paul Zimmermann
• Bruck, teorema de R. Wolstenholme, números de Stirling y coeficientes binomiales
• Conrad, K. The p -adic Growth of Harmonic Sums es una observación interesante relacionada con los números primos de Wolstenholme.