Número primo de Eisenstein
Número primo de Eisenstein - Número de Eisenstein :
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que es un elemento irreducible (o, equivalentemente, simple ) de Z [ω] en el sentido de la teoría del anillo. Los divisores de los números primos de Eisenstein son sólo elementos invertibles (±1, ±ω, ±ω 2 ), a + b ω y sus productos.
La multiplicación por un invertible y la conjugación de cualquier primo de Eisenstein también es un primo de Eisenstein.
Un número entero de Eisenstein z = a + b ω es un primo de Eisenstein si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones mutuamente excluyentes:
- z es el producto de un elemento invertible y un primo natural de la forma 3 n − 1,
- | z | 2 = a 2 − ab + b 2 es un primo natural (comparable a 0 o 1 módulo 3).
De ello se deduce que el valor absoluto del cuadrado de cualquier número entero de Eisenstein es un número primo o el cuadrado de un número primo.
Varios primeros primos de Eisenstein iguales a primos naturales 3 n − 1:
2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 ( secuencia OEIS A003627 ).Todos los primos naturales congruentes con 0 o 1 módulo 3 no son primos de Eisenstein: se pueden factorizar en factores no triviales en Z [ω]. Ejemplos:
3 = −(1 + 2ω) 2 7 = (3 + ω)(2 − ω).Algunos números primos de Eisenstein no naturales:
2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.Salvo conjugación y multiplicación por unidades, los números anteriores, junto con el 2 y el 5, son todos números primos de Eisenstein que no superan el 7 en valor absoluto .
A partir de 2017, el primo de Eisenstein real más grande conocido es 10223 × 2 31172165 + 1 descubierto por el proyecto PrimeGrid [1] .
Todos los primos grandes conocidos son primos de Mersenne y se han encontrado utilizando GIMPS . Los primos reales de Eisenstein son congruentes con 2 módulo 3, y los primos de Mersenne (excepto el más pequeño y ellos, 3) son congruentes con 1 módulo 3. Por lo tanto, ningún primo de Mersenne es un primo de Eisenstein.
Véase también
Enlaces
- ↑ Chris Caldwell, " Los veinte principales: números primos más grandes conocidos , archivado el 12 de junio de 2018 en Wayback Machine " de The Prime Pages . Consultado el 14 de marzo de 2017.