Espacio de Sobolev

El espacio de Sobolev es un espacio de funciones que consta de funciones del espacio de Lebesgue ( ) que tienen derivadas generalizadas de un orden dado de . ${\ estilo de visualización L^{p} (Q)}$ $k$ ${\ estilo de visualización L^{p} (Q)}$

Para , los espacios de Sobolev son espacios de Banach , y para , son espacios de Hilbert . Los espacios de Sobolev Hilbert también se denotan por . $1\leqslant p\leqslant \infty$ $W_{p}^{k}(Q)$ $pag=2$ $H^{k}(Q)=W_{2}^{k}(Q)$

Los espacios de Sobolev fueron introducidos por el matemático soviético Sergei Lvovich Sobolev y posteriormente recibieron su nombre.

Definición

Para un dominio , la norma en el espacio de Sobolev de orden y sumable con un grado se introduce mediante la siguiente fórmula: $Q\subconjunto R^{n}$ $W_{p}^{k}(Q)$ $k\geqslant 1$ $1\leqslant p<\infty$

\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}=\left(\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\int \limits _{Q}|D ^{\alpha }u|^{p}dx\right)^{1/p},

mientras que la norma se ve así: $p=\infty$

\|u\|_{W_{\infty }^{k}(Q)}=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\mathrm {ess} \sup |D^{\ alfa }u|,

donde es el multiíndice y la operación es la derivada generalizada con respecto al multiíndice. $\alfa$ $D^{\alfa}$

El espacio de Sobolev se define como la realización de funciones suaves en la norma. $W_{p}^{k}(Q)$ $W_{p}^{k}(Q)$

Ejemplos

Los espacios de Sobolev tienen diferencias esenciales con los espacios de funciones continuamente diferenciables.

Un ejemplo de una función discontinua

Sea un círculo en un plano. La función pertenece al espacio , pero tiene una discontinuidad de segundo tipo en el punto . $Q=\{x\en R^{2}:|x|<1/2\}$ $u(x)=\ln |\ln |x||$ $H^{1}(P)$ $x=0$

Espacios de Sobolev en el caso unidimensional

Las funciones del espacio son continuas. Para cualesquiera dos funciones del espacio , el producto de estas funciones también pertenece a . Por lo tanto, un espacio de Sobolev de primer orden en un segmento es un álgebra de Banach . $H^{1}(a, b)$ $H^{1}(a, b)$ $H^{1}(a, b)$

Propiedades

Para cualquier región , se sigue que . $Q'\subconjunto Q$ $f\en W_{p}^{k}(Q)$ $f\en W_{p}^{k}(Q')$
Si y , entonces . $f\en W_{p}^{k}(Q)$ $a\en C^{k}(\overline Q)$ $af\en W_{p}^{k}(Q)$
Si es finito en , entonces la continuación de esta función por cero pertenece a cualquier . $f\en W_{p}^{k}(Q)$ $q$ $W_{p}^{k}(Q')$ $Q\subconjunto Q'$
Sea un mapeo suave y uno a uno de la región sobre la región y , entonces la función pertenece al espacio . $y=y(x)$ $q$ $\Omega$ $F\in W_{p}^{k}(\Omega )$ $f(x)=F(y(x))$ $W_{p}^{k}(Q)$
Los espacios de Sobolev son espacios separables. $W_{p}^{k}(Q)$
Si el límite de la región satisface la condición de Lipschitz, entonces el conjunto es denso en . $q$ $C^{\infty}(\overline Q)$ $W_{p}^{k}(Q)$
Sea , donde hay un dominio acotado en , con forma de estrella con respecto a alguna pelota. Si , entonces su producto puntual , definido casi en todas partes en , pertenece al espacio , además, existe una constante positiva que depende solo de tal que $u,v\en W_{p}^{k}(Q)$ $q$ $R^{n}$ $kp>n$ $ultravioleta$ $q$ $W_{p}^{k}(Q)$ $C$ $k, n, p$

\|uv\|_{{W_{p}^{k}}}\leq C\|u\|_{{W_{p}^{k}}}\|v\|_{{W_{p }^{k}}}

, en otras palabras, es un álgebra de Banach conmutativa cuya multiplicación es compatible con la norma .

W^{k,p}(Q)

\|u\|_{{W_{p}^{k}(Q)^{*}}}=C\|u\|_{{W_{p}^{k}(Q)}}

Los espacios en son espacios reflexivos. $W_{p}^{k}(Q)$ $1<p<\infty$
Los espacios son espacios de Hilbert. $W_{2}^{k}(Q)=H^{k}(Q)$

Incrustación de teoremas

Suponiendo que el límite del dominio satisface las condiciones de suavidad suficientes, se cumplen los siguientes teoremas de incrustación. $Q\subconjunto R^{n}$

Teorema de incrustación de Sobolev

Si , entonces hay una incrustación continua $k+n/p<s$

W_{p}^{s}(Q)\subconjunto C^{k}(\overline Q)

Aquí se supone que es entero y no negativo, y puede ser fraccionario (espacios de Sobolev de orden fraccionario). Este teorema juega un papel crucial en la teoría de espacios de funciones y ecuaciones diferenciales parciales . $k$ $s$

Teorema de Rellich-Kondrashov

Sea el dominio acotado, , y , entonces: la incrustación es completamente continua . $q$ $s_{1}>s_{2}$ $1<p_{1},p_{2}<\infty$ $n(1/p_{1}-1/p_{2})<s_{1}-s_{2}$ $W_{{p_{1}}}^{{s_{1}}}(Q)\subconjunto W_{{p_{2}}}^{{s_{2}}}$

Con la ayuda de los teoremas sobre la compacidad de las incrustaciones de espacios de Sobolev, se prueban muchos teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales.

Historia

La idea de generalizar soluciones a ecuaciones en derivadas parciales comenzó a penetrar en la física matemática en la década de 1920. La necesidad de ampliar las clases de funciones surge , por un lado, en problemas variacionales multidimensionales , y por otro lado, en el estudio de la ecuación de onda y ecuaciones de hidrodinámica. En estos problemas, las clases de funciones continuas resultaron ser insuficientes.

En el trabajo de Friedrichs en 1934 [1] , al estudiar el mínimo de un funcional cuadrático, se introdujeron clases de funciones que coinciden con los espacios de Sobolev: espacios de Sobolev de primer orden, que tienen una traza cero en el límite del dominio. Sin embargo, en estos trabajos (los llamados problemas variacionales directos ) todavía no se comprendía que los espacios de Sobolev de segundo orden son una clase de corrección para los problemas de valores en la frontera elípticos correspondientes a problemas variacionales. En 1936, el trabajo fundamental de Sobolev [2] introduce soluciones generalizadas de los principales tipos de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden (la ecuación de onda, la ecuación de Laplace y la ecuación del calor ) a partir de clases de funciones, que luego se denominaron espacios de Sobolev. En estos artículos, las soluciones generalizadas se entienden como los límites de las soluciones clásicas, y los límites se consideran en clases de funciones integrables. Tal extensión de los conceptos de soluciones hace posible estudiar problemas con lados derechos y coeficientes de ecuaciones muy generales. $H_{0}^{1}(P)$

En la década de 1930, comenzó un estudio exhaustivo de los espacios de Sobolev. Los más importantes fueron los artículos de Rellich sobre la compacidad de las incrustaciones (el teorema de Rellich-Gording) y los teoremas de incrustación (los teoremas de Sobolev y Sobolev-Kondrashov). Estos teoremas permitieron construir soluciones generalizadas para muchos problemas de la física matemática, así como establecer una conexión con clases de funciones continuas.

En la década de 1940, se le pidió a Ladyzhenskaya que definiera soluciones generalizadas utilizando identidades integrales para funciones de espacios de Sobolev. El uso de identidades integrales resultó ser un enfoque extremadamente conveniente para estudiar la resolución y suavidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. En la actualidad, la definición de soluciones generalizadas en términos de identidades integrales es el método estándar para plantear problemas.

Los espacios de Sobolev son de fundamental importancia no solo en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , sino también en problemas variacionales, teoría de funciones , teoría de aproximación , métodos numéricos , teoría de control y muchas otras ramas del análisis y sus aplicaciones.

Variaciones y generalizaciones

Espacios de Sobolev $H_{0}^{k}(Q)$

En los problemas de valores de contorno para ecuaciones diferenciales parciales, los espacios de funciones del espacio de Sobolev con condiciones de contorno cero juegan un papel importante. Estos espacios se denotan por y se introducen como los cierres del conjunto con respecto a la norma del espacio , donde hay un conjunto de funciones infinitamente diferenciables que son finitas en . $H_{0}^{k}(Q)$ $C_{0}^{\infty}(Q)$ $H^{k}(Q)$ $C_{0}^{\infty}(Q)$ $q$

Los espacios son subespacios cerrados en . Si existe cierta suavidad de la frontera del dominio , este espacio coincide con el conjunto de funciones a partir de las cuales tienen traza cero en la frontera del dominio y traza cero de todas las derivadas generalizadas hasta el -ésimo orden. $H_{0}^{k}(Q)$ $H^{k}(Q)$ $q$ $H^{k}(Q)$ $q$ $k-1$

Espacios de Sobolev en todo el espacio

Los espacios de Sobolev se pueden definir utilizando la transformada de Fourier. Para cualquier función , se define la transformada de Fourier y, además, . El espacio de Sobolev se define de la siguiente manera: $H^{s}(R^{n})$ ${\ estilo de visualización f (x) \ en L ^ {2} (R ^ {n})}$ ${\sombrero {f))(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2))))\int \limits_{{\mathbb{R} ^{n} }}f(x)e^{{-ix\cdot \omega }}\,dx$ ${\sombrero {f}}(\omega )\en L^{2}(R^{n})$ $H^{s}(R^{n})$

H^{s}(R^{n})=\{f\in L^{2}(R^{n}):(1+|\omega |^{2})^{s/ 2}{\sombrero {f}}(\omega )\en L^{2}(R^{n})\}

Espacios de Sobolev en un toro

Sea un toro dimensional . El espacio de Sobolev sobre el toro , es decir , funciones que son -periódicas en todas las variables, se puede definir utilizando series multidimensionales de Fourier: $T^{n}$ $norte$ $T^{n}$ $2\pi$

H^{k}(T^{n})=\{f\en L^{2}(T^{n}):\sum \limits_{{m_{1},\dots,m_{n} =-\infty}}^{\infty}(1+m_{1}^{{2k}}+m_{2}^{{2k}}+\dots +m_{n}^{{2k}}) |f_{{m_{1}m_{2}\puntos m_{n}}}|^{2}<\infty \}

Espacios de Sobolev de orden fraccionario

Para evitar confusiones, una k no entera generalmente se denotará como s , es decir, o . ${\ Displaystyle W_ {p}^ {s}}$ $H^{s}$

En el caso 0<s<1, el espacio consta de funciones tales que ${\ Displaystyle W_ {p}^ {s}}$ $f\en L^{p}(Q)$ $Q\subconjunto R^{n}$

\|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{L^{p}(Q)}^{p}+\int _{Q} {\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|xy|^{n+ps}}}dxdy\right)^{1/p}.

Para un s>1 no entero, establecemos , donde es la parte entera de s. Entonces consta de elementos tales que para con la norma $s=[s]+\sigma$ $[s]$ $W_{p}^{s}(Q)$ $W_{p}^{[s]}(Q)$ $D^{\alpha }f\in W_{p}^{\sigma }(Q)$ $|\alfa |=[s]$

\|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{W_{p}^{[s]}(Q)}^{p}+\ suma \limits _{|\alpha |=[s]}\|D^{\alpha }f\|_{W_{p}^{\sigma }(Q)}^{p}\right)^{1 /pags}.

Espacios de Sobolev de orden negativo

Al considerar soluciones generalizadas de ecuaciones diferenciales parciales, surgen naturalmente espacios de Sobolev de orden negativo. El espacio está determinado por la fórmula: $H^{{-k}}(Q)$

H^{{-k}}(Q)=\left(H_{0}^{k}(Q)\right)'

donde el primo denota el espacio conjugado. Al hacerlo, obtenemos que los espacios de Sobolev de orden negativo son el espacio de funciones generalizadas. Entonces, por ejemplo, el espacio contiene la función de Dirac . $H^{{-1}}(-1,1)$ $\delta$

Notas

↑ Friedrichs KO Matemáticas. Ana. v. 109 (1934), 465-487.
↑ S. Soboleff, "Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales", Mat. Sábado, 1(43):1 (1936), 39-72

Literatura

Sobolev S. L. Algunas aplicaciones del análisis funcional en la física matemática, M.: Nauka, 1988
Ladyzhenskaya OA Problemas de valores en la frontera de la física matemática. Moscú: Nauka, 1973.
R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Espacios de Sobolev . Prensa Académica.
Mikhailov VP Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Moscú: Nauka, 1976