Fock espacio

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El espacio de Fock es una construcción algebraica de espacios de Hilbert de una sola partícula que se utiliza en la teoría cuántica de campos para describir los estados cuánticos de un número variable o desconocido de partículas . Nombrado en honor al físico soviético Vladimir Alexandrovich Fok .

Formalmente, el espacio de Fock se define por la suma directa de los subespacios del producto tensorial (potencias tensoriales) de los espacios de Hilbert de una partícula.

F_{\nu }(H)=\bigoplus _{{n=0}}^({\infty }}S_{\nu }H^{{\otimes n}}

donde S ν es un operador que hace que el espacio de Hilbert sea simétrico o antisimétrico, según se trate de partículas bosónicas (ν = +) o fermiónicas (ν = −); H es un espacio de Hilbert de una partícula que describe los estados cuánticos de una sola partícula. El espacio de Fock sirve para describir los estados cuánticos de un sistema de n partículas o una superposición de estos estados. Los estados de Fock son la base natural del espacio de Fock. (Ver también Determinante de Slater ).

Ejemplo

|\Psi \rangle_{\nu}=|\phi_{1},\phi_{2},\cdots,\phi_{n}\rangle_{\nu}

Aquí n es el número total de partículas, la primera tiene una función de onda φ 1 , la siguiente φ 2 y así sucesivamente hasta la n-ésima partícula, donde φ i representa cualquier función de onda en el espacio de Hilbert con una sola partícula ( H ) . Hablando de una partícula en el estado φ i , es necesario tener en cuenta que en la mecánica cuántica las partículas idénticas son indistinguibles entre sí, y en el mismo espacio de Fock también serán idénticas (las descripciones de las diferentes partículas se realizan utilizando el tensor productos del número correspondiente de espacios Fock). Esta es la afirmación más fuerte del formalismo de Fock, de la que se sigue que los estados son esencialmente perfectamente simétricos. Por ejemplo, si el estado | Ψ > es fermiónico, entonces será igual a cero si dos o más φ i son iguales, ya que, según el principio de Pauli, ninguno de dos (o más) fermiones puede estar en el mismo estado cuántico. Además, todos los estados están idealmente normalizados, lo que también se deriva de las consideraciones anteriores.

Una base útil y conveniente para este espacio es la base del número de ocupación de partículas . Entonces, si | ψ i > es la base de H , entonces podemos suponer que hay n 0 partículas en este espacio en el estado | ψ 0 >, n 1 partículas en el estado | ψ 1 >, …, n k partículas en el estado | ψ k >, es decir

|n_{0},n_{1},\cdots,n_{k}\rangle _{\nu},

para cada n i , donde i toma valores de 0 a 1 para fermiones y 0,1,2,… para bosones.

Tal estado se llama estado de Fock. Si entiendes || ψ i > como estados estables de un campo de tamaños arbitrarios, es decir, un número estrictamente definido de partículas, entonces el espacio de Fock se define como un conjunto bastante grande de partículas que no interactúan. El estado más común es una superposición lineal de estados de Fock. Los dos operadores de suma importancia aquí son los operadores de creación y aniquilación , que, actuando sobre el espacio de Fock, añaden y quitan una partícula a la que se le atribuye un estado cuántico. Se designan respectivamente y , y se refieren al espacio cuántico en el que se añade o se quita la partícula. A menudo es conveniente trabajar con estados de la base del espacio H tales que estos operadores agreguen o eliminen exactamente una partícula a un espacio dado. Estos operadores también sirven como base para operadores de espacio de Fock más generales, como el operador de número de partículas , que establece el número de partículas en un estado particular en . $a^{{\daga}}(\phi _{i})$ $a(\phi _{i})$ $\phi_i$ $|\phi _{i}\rangle$ $|\phi _{i}\rangle$ $a^{{\daga}}(\phi _{i})a(\phi _{i})$

Literatura

Berezin F. A. Segundo método de cuantificación. — M.: Nauka, 1986. — 320 p.
V. Fock. Z Phys . 75, 622-647 (1932)
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introducción a la teoría de campos cuantizados. — M.: Nauka, 1984. — S. 98-100.
MC Reed, B. Simón . Métodos de la Física Matemática Moderna, Volumen II. - Prensa Académica, 1975. - Pág. 328.