Saltando vieta

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Jumping Vieta ( reflejo de raíces ) es un método de prueba utilizado en teoría de números ; se usa con mayor frecuencia para problemas en los que se da la razón entre dos números naturales y se requiere probar algún enunciado relacionado con ellos. Hay varias variaciones del método que de alguna manera están relacionadas con el tema general del descenso infinito , donde a partir de una solución dada se encuentra una nueva solución (más pequeña) utilizando  las fórmulas de Vieta .

Historia

El salto vieta es un método relativamente nuevo para resolver  problemas matemáticos de Olimpiadas . El primer problema de este tipo se propuso en la 29.ª Olimpiada Internacional de Matemáticas  en 1988 , y este problema se consideró el más difícil de los propuestos en la Olimpiada: [1]

Ninguno de los seis miembros de la Comisión de Tareas de Australia pudo resolver este problema. Dos de ellos son György Sekeres y su esposa, ambos reconocidos solucionadores y escritores de problemas. Como se trataba de un problema de teoría de números, se envió a cuatro de los matemáticos más famosos de Australia que eran especialistas en este campo. Se les pidió que trabajaran en él durante seis horas. Ninguno de ellos fue capaz de resolverlo durante este tiempo. El comité de tareas lo presentó al jurado del 29º MMO, marcándolo con dos estrellas. Esto significaba que la tarea era extremadamente difícil; tal vez incluso demasiado complejo para ser ofrecido a los participantes de la Olimpiada. Después de una larga discusión, el jurado, sin embargo, se atrevió a proponerlo como el último problema de la Olimpiada. Once estudiantes presentaron sus soluciones exactas.Arturo Engel

Entre los once alumnos que obtuvieron la máxima puntuación por resolver este problema se encontraba el futuro  Fields Laureate  Ngo Bao Chau (16 años) [2] . Otros dos futuros ganadores de Fields ,  Terence Tao (12 años) y Elon Lindenstrauss (17 años), obtuvieron solo un punto cada uno en el sexto problema [3] .

Saltos Vieta Standard

Los saltos estándar de Vieta realizan una  prueba por contradicción  en tres pasos: [4]

  1. Se supone que hay números relacionados por esta relación, pero que no satisfacen la afirmación que se prueba.
  2. Se considera una solución mínima ( A , B ) con respecto a alguna función (por ejemplo, A + B ). La razón original se convierte luego en una ecuación cuadrática con coeficientes que dependen de B , y una de cuyas raíces es igual a A. Usando las fórmulas de Vieta, se encuentra la segunda raíz de esta ecuación.
  3. Se muestra que la segunda raíz da una solución que tiene un valor menor de la función elegida. Por lo tanto, existe una contradicción con la minimalidad del valor de la función en la solución original y, por lo tanto, la suposición del paso 1 es falsa.
Ejemplo

MMO 1988, Problema 6. Sean a y b  números enteros positivos tales que ab + 1 divide a 2 + b 2 . Pruebaloa 2 + b 2ab +1 es un cuadrado perfecto . [5] [6]

  1. Sea k =a 2 + b 2ab +1. Supongamos que existe alguna solución para la cual k no es un cuadrado perfecto.
  2. Para tal valor de k , considere una solución ( A , B ) que minimice el valor de A + B. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que A ≥ B . Reescribiendo la expresión para k y reemplazando A con x , obtenemos la ecuación cuadrática  x 2 - ( kB ) x + ( B 2 - k ) = 0 . Por construcción, x 1 = A es la raíz de esta ecuación. De acuerdo con las fórmulas de Vieta, la segunda raíz se puede representar como x 2 \ u003d kB - A \u003dB2 - k _A.
  3. De la primera expresión para x 2 se sigue que x 2 es un número entero, y de la segunda que x 2 ≠ 0 . Dado que k =x 2 2 + B 2x 2 B + 1> 0 , entonces x 2 es positivo. Finalmente, de A ≥ B  se sigue que x 2 = B2 - k _A< A y por tanto  x 2 + B < A + B , lo que contradice la minimalidad de la solución ( A , B ) .

Descenso continuo por salto Vieta

El método de descenso con salto continuo de Vieta se usa para probar alguna afirmación sobre una constante k que depende de la relación entre los números enteros ayb . A diferencia de los saltos estándar de Vieta, el descenso continuo no es una prueba por contradicción y consta de los siguientes cuatro pasos [7] :

  1. El caso de igualdad a = b se considera por separado . En lo que sigue, se supone que a > b .
  2. Los valores de b y k son fijos . La relación entre a , b  y k se reduce a la forma de una ecuación cuadrática con coeficientes dependientes de b y k , una de cuyas raíces es x 1 = a . La otra raíz x 2 se determina usando las fórmulas de Vieta. 
  3. Se muestra que para todo ( a , b ) mayor que algunos valores básicos, se cumple la desigualdad 0 < x 2 < b < a , y x 2 es un número entero. Así, de la solución ( a , b ) se puede bajar a la solución ( b , x 2 ) y repetir este proceso hasta obtener una solución con valores base.
  4. La afirmación se prueba para valores básicos. Dado que k permanece invariable durante el descenso, esto implica que la afirmación es válida para todos los pares ordenados ( a , b ) .
Ejemplo

Sean enteros positivos  a y b  tales que ab divide a 2 + b 2 + 1 . Se requiere demostrar que 3 ab = a 2 + b 2 + 1 . [ocho]

  1. Si a = b , entonces a 2 debe dividir 2 a 2 + 1 . De donde a = b = 1  y así 3(1)(1) = 1 2 + 1 2 + 1 . En lo que sigue, sin pérdida de generalidad, asumimos que a > b .
  2. Sea k =a 2 + b 2 + 1abdominales. Transformando esta igualdad y reemplazando a  por x , obtenemos una ecuación cuadrática x 2 − ( kb ) x + ( b 2 + 1) = 0 , una de cuyas raíces es x 1 = a . De acuerdo con las fórmulas de Vieta, la raíz segunda se puede representar como: x 2 = kb − a =segundo 2 + 1a.
  3. La primera representación muestra que x 2 es un número entero y la segunda representación que este número es positivo. La desigualdad a > b implica que x 2 =segundo 2 + 1a< b si b > 1 .
  4. Entonces el caso base es el valor b = 1 . En este caso, el valor de a debe dividir a 2 + 2 , y por lo tanto a es igual a 1 o 2. El caso a = 1 es imposible, ya que a ≠ b . En el caso a = 2 tenemos k = a 2 + b 2 + 1abdominales=62= 3 . Como el valor de k no cambió durante el descenso, obtenemos quea 2 + b 2 + 1abdominales= 3 , es decir 3 ab = a 2 + b 2 + 1 , para todos los pares ordenados ( a , b ) .

Interpretación geométrica

Los saltos de Vieta se pueden describir en términos de puntos enteros en hipérbolas en el primer cuadrante . [1] En este caso, el proceso de encontrar una raíz más pequeña corresponde a la búsqueda de puntos enteros más pequeños en la hipérbola dentro del primer cuadrante. Este proceso se puede describir de la siguiente manera:

  1. A partir de esta condición, obtenemos una ecuación para una familia de hipérbolas que no cambia cuando se intercambian x e y . En otras palabras, estas hipérbolas son simétricas con respecto a la línea y = x .
  2. La afirmación requerida se prueba para los puntos de intersección de las hipérbolas y la línea y = x .
  3. Se supone que ( x , y )  es un punto entero en alguna hipérbola, y sin pérdida de generalidad x < y . Entonces, según las fórmulas de Vieta, se encuentra un punto entero con el mismo valor de la primera coordenada en otra rama de la hipérbola. Entonces la reflexión de este punto con respecto a la recta y = x produce un nuevo punto entero en la rama original de la hipérbola.
  4. Se muestra que este proceso conduce a encontrar puntos más pequeños en la misma rama de la parábola siempre que se cumpla una determinada condición (por ejemplo, x = 0 ). Al sustituir esta condición en la ecuación de la hipérbola, se verifica que la afirmación que se prueba se cumple para ella.
Ejemplo

Apliquemos el método descrito al problema No. 6 con MMO 1988: Sean a y b  números enteros positivos tales que ab + 1 divide a 2 + b 2 . Pruebaloa 2 + b 2ab +1 es un cuadrado perfecto .

  1. Dejara 2 + b 2ab +1= q . Fijamos el valor de q y consideramos la hipérbola H dada por la ecuación x 2 + y 2 − qxy − q = 0 . Entonces ( a , b ) es un punto en esta hipérbola.
  2. Si x = y , entonces x = y = q = 1 , lo que satisface trivialmente el enunciado del problema.
  3. Sea ( x , y )  un punto entero en la rama “superior” de la hipérbola H con x < y . Entonces se sigue de las fórmulas de Vieta que ( x , qx − y )  es un punto entero en la rama “inferior” de la hipérbola H . El reflejo de este punto es el punto ( qx − y , x ) en la rama "superior" original. La segunda coordenada del punto recibido es menor que la del original, lo que significa que está por debajo del punto original.
  4. Este proceso se puede repetir. De la ecuación de la hipérbola H se sigue que los puntos resultantes permanecen dentro del primer cuadrante. Así, la repetición del proceso terminará cuando se reciba el valor x = 0 . Su sustitución en la ecuación de la hipérbola H da q = y 2 , lo cual estaba por demostrar.

Véase también

Notas

  1. ↑ 12 Arturo Engel . Estrategias de resolución de problemas (neopr.) . - Springer , 1998. - Pág. 127. - ISBN 978-0-387-98219-9 .  
  2. ↑ Resultados de la Olimpiada Matemática Internacional 1988 . imo-oficial.org. Consultado el 3 de marzo de 2013. Archivado desde el original el 2 de abril de 2013.
  3. ↑ [https://web.archive.org/web/20200104173313/https://www.youtube.com/watch?v=zzmlA7iAGG4 Archivado el 4 de enero de 2020 en Wayback Machine Pregunta n.° 6 La leyenda regresa [Numberphile] - YouTube ]
  4. ↑ Yiming Ge. El Método del Salto Vieta  (neopr.)  // Reflexiones Matemáticas. - 2007. - T. 5 .
  5. ↑ Foro de AoPS: uno de mis problemas favoritos, ¡sí! . Artofproblemsolution.com. Recuperado: 3 de marzo de 2013.
  6. ↑ KS Marrón. N = (x^2 + y^2)/(1+xy) es un cuadrado . MathPages.com. Consultado: 26 de septiembre de 2016.
  7. ↑ Foro de AoPS - Números de lémur . Artofproblemsolution.com. Recuperado: 3 de marzo de 2013.
  8. ↑ Foro de AoPS - x*y | x^2+y^2+1 . ArtOfProblemSolving.com (7 de junio de 2005). Recuperado: 3 de marzo de 2013.

Enlaces