Diferencia dividida

La diferencia dividida es una generalización del concepto de derivada para un conjunto discreto de puntos.

Definición

Deje que una función se defina en un conjunto (conexo) y se fijen puntos distintos por pares $F$ $X,$ $x_{0},\;\ldots,\;x_{n}\en X.$

Entonces el valor se llama la diferencia dividida del orden cero de la función en el punto , y la diferencia dividida del orden para el sistema de puntos se determina a través de las diferencias divididas del orden según la fórmula $F$ $x_{j}$ ${\ estilo de visualización f (x_ {j}),}$ $k$ $(x_{j},\;x_{j+1},\;\ldots,\;x_{j+k})$ $(k-1)$

f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})={\frac {f (x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})-f(x_{j};\;x_{j+1}; \;\ldots ;\;x_{j+k-1})}{x_{j+k}-x_{j}}},

En particular,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0))} ,

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{1};\;x_{2})-f(x_{0} ;\;x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\dfrac {{\dfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2 }-x_{1))}-{\dfrac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0)))){x_{2}-x_{ 0}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})={\frac {f(x_{1}; \;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})-f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1}) {x_{n}-x_{0}}}.

Propiedades

Para la diferencia dividida, la fórmula es verdadera

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\dfrac {f(x_{ j})}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i))}}),

En particular,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})}{x_{1}-x_{0))}+{\frac {f(x_ {0})}{x_{0}-x_{1}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})( x_{2}-x_{0})}}+{\frac{f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{0})}} +{\frac{f(x_{0})}{(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{1})}}.

La diferencia dividida es una función simétrica de sus argumentos, es decir, cualquier permutación de ellos no cambia su valor, en particular,

f(x_{0};\;x_{1})=f(x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})=f(x_{1};\;x_{0};\;x_{2})=f(x_ {2};\;x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots;\;x_{n-1};\;x_{n})=f(x_{n};\;x_{ n-1};\;\ldots;\;x_{1};\;x_{0}).

Con un sistema fijo de puntos , la diferencia dividida es un funcional lineal , es decir, para funciones y y escalares y : $(x_{0},\;\ldots,\;x_{n})$ $F$ $gramo$ $a$ $b$

(a\cdot f+b\cdot g)(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})=a\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\; x_{n})+b\cdot g(x_{0};\;\ldots;\;x_{n}).

Aplicación

Con la ayuda de diferencias divididas, las funciones para los nodos se pueden escribir como el polinomio de interpolación "hacia adelante" de Newton: $F$ $(x_{0},\;\ldots,\;x_{n})$

{\begin{matriz}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{0})+f(x_{0};\;x_{1})\cdot (x-x_{ 0})+f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})\cdot (x-x_{0})\cdot (x-x_{1})+\ldots +f (x_{0};\;\ldots;\;x_{n})\cdot \prod _{k=0}^{n-1}(x-x_{k})=\\&=&f(x_ {0})+(x-x_{0})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1})+(x-x_{1})\cdot \left(f(x_{ 0};\;x_{1};\;x_{2})+\ldots +(x-x_{n-1})\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n })\ldots\right)\right),\end{matriz}}

también lo es el polinomio de interpolación de Newton "hacia atrás":

{\begin{matriz}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1})\cdot (x- x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})\cdot (x-x_{n})\cdot (x-x_{n- 1})+\ldots +f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\cdot \prod _{k=1}^{n}(x-x_{k})=\ \&=&f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1})+(x-x_{n-1} )\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})+\ldots +(x-x_{1})\cdot f(x_{n };\;\ldots ;\;x_{0})\ldots \right)\right).\end{matriz}}

ventajas:

para calcular diferencias divididas, se requieren acciones (divisiones), que es menor que en otros algoritmos; ${\ estilo de visualización (n + 2) (n + 1)/2 = O (n ^ {2})}$
puede calcular los valores del polinomio de interpolación según el esquema de Horner para acciones (multiplicaciones); $En)$
el almacenamiento es requerido por el nodo y la diferencia, y las diferencias se pueden almacenar (recibir) en las mismas celdas donde se establecieron los valores ; $(n+1)$ $(n+1)$ ${\ estilo de visualización f (x_ {k})}$
en comparación con el polinomio de interpolación de Lagrange, se simplifica la adición de un nuevo nodo.

Usando

\left\{{\begin{matriz}{rcl}\omega _{j}(x)&=&(x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{j-1 })=\prod\limits_{k=0}^{j-1}(x-x_{k})=\omega_{j-1}(x)\cdot (x-x_{j-1} ),\;j>0,\\\omega _{0}(x)&=&1\end{matriz}}\right.

La primera de las fórmulas se puede escribir como

L_{n}(x)=\sum_{j=0}^{n}f(x_{0};\;\ldots;\;x_{j})\cdot \omega_{j} (X).

Usando el polinomio de Newton, también se puede obtener la siguiente representación de diferencias divididas como una razón de determinantes :

f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n- 1}&f(x_{0})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&f(x_{n} )\end{matriz}}\right|}{\left|{\begin{matriz}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n}\end{matriz}}\right |}}.

Historia

Newton usó diferencias divididas en su fórmula de interpolación general (ver arriba), pero el término parece haber sido introducido por O. de Morgan en 1848 [1] .

Ejemplo

La siguiente imagen muestra un ejemplo de cálculo de las diferencias divididas para

{\begin{matriz}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{i}&=&i,\;i=0, \ldots,n,\\n&=&5.\end{matriz}}

Véase también

Enlaces

Interpolación de Hermite usando diferencias divididas.

Literatura

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Métodos numéricos. - 3ª ed., añadir. y reelaborado. — M. : BINOM. Laboratorio del Conocimiento, 2004. - 636 p., il. — ISBN 5-94774-175-X .
Korn G. (Granino A. Korn, Ph.D.), Korn T. (Theresa M. Korn, MS) Manual matemático para científicos e ingenieros ( Eng. Manual matemático para científicos e ingenieros, 1968 ). - M. : Nauka, 1973. - 832 p., il.

Notas

↑ Diferencias finitas. Archivado el 12 de agosto de 2010 en Wayback Machine en Encyclopedia Around the World