Enrejado (álgebra)

Una red (anteriormente se usaba el término estructura ) es un conjunto parcialmente ordenado en el que cada subconjunto de dos elementos tiene un límite superior exacto (sup) y un límite inferior exacto (inf) . Esto implica la existencia de estas caras para cualquier subconjunto finito no vacío.

Ejemplos

el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, ordenados por inclusión; por ejemplo: , ; $\sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\} =\{x\}$ $\sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\} \}=\conjunto vacío$
cualquier conjunto linealmente ordenado ; y si , entonces ; $a\leqslant b$ $\sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a$
el conjunto de todos los subespacios del espacio vectorial ordenados por inclusión, donde es la intersección y es la suma de los subespacios correspondientes; $\inf$ $\arriba$
el conjunto de todos los enteros no negativos , ordenados por divisibilidad : si para algunos . Aquí - el mínimo común múltiplo , y - el máximo común divisor de estos números; $a\leqslant b$ ${\ estilo de visualización b = ac}$ $C$ $\arriba$ $\inf$
funciones reales definidas en el segmento [0, 1] ordenadas por la condición si para todos . Aquí ${\ estilo de visualización f \ leqslant g}$ ${\ Displaystyle f (t) \ leqslant g (t)}$ ${\ estilo de visualización t \ en [0,1]}$

{\ estilo de visualización \ sup (f, g) = u}

, donde .

u(t)=\max(f(t),g(t))

Definición algebraica

Una red también se puede definir como un álgebra universal con dos operaciones binarias (se denotan por y o + y ∙) que satisfacen las siguientes identidades $\vee$ $\cuña$

$a\vee a=a$
$a\cuña a=a$ ( idempotencia )
$a\vee b=b\vee a$
$a\cuña b=b\cuña a$ ( conmutatividad )
$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$
$(a\cuña b)\cuña c=a\cuña (b\cuña c)$ ( asociatividad )
$a\cuña (a\vee b)=a$
$a\vee (a\cuña b)=a$ ( absorción ).

La conexión entre estas dos definiciones se establece mediante las fórmulas:

a\vee b=\sup(a,b)

{\ estilo de visualización a \ cuña b = \ inf (a, b)}

y vuelta Además, para cualquier elemento y las siguientes declaraciones son equivalentes: $a$ $b$

a\leqslant b

;

a\cuña b=a

;

a\vee b=b

Los conceptos de isomorfismo de redes como álgebras universales y como conjuntos parcialmente ordenados coinciden. Sin embargo, un mapa de isótonos arbitrario de un retículo a un retículo no necesita ser un homomorfismo de estos retículos como álgebras universales. $R$ $R'$

Subredes

Una subred es un subconjunto de elementos de red que se cierra bajo las operaciones y . Ejemplos de subredes son cualquier subconjunto de un elemento de la red, ideal , filtro , intervalo . $+$ $\cdot$

Una subred se llama convexa si se sigue de y que . Todas las subredes anteriores son convexas. $A$ ${\ estilo de visualización a, b \ en A}$ ${\ estilo de visualización a<c<b}$ $c\en A$

Cualquier subconjunto de elementos de la cadena es su subred (no necesariamente convexa). Todas las subredes de una red dada, ordenadas por la relación de inclusión, forman una red.

Historia

La aparición del concepto de "celosía" se refiere a mediados del siglo XIX. Fue claramente formulado por R. Dedekind en los trabajos de 1894 y 1897 . El término "celosía", traducido como "estructura", fue introducido por Birkhoff en 1933 . En la actualidad, en la terminología rusa (debido a la ambigüedad de la palabra “estructura”), ha sido suplantada por la traducción “celosía”. Históricamente, el papel de la teoría de celosías se explica por el hecho de que muchos hechos relacionados con el conjunto de ideales del anillo y el conjunto de subgrupos normales del grupo parecen similares y pueden probarse en el marco de la teoría de celosías de Dedekind . Como rama independiente del álgebra, esta teoría se formó en los años 30 del siglo XX. Las clases más importantes de retículas, además de las de Dedekind, son las retículas completas , las retículas distributivas y las álgebras booleanas .

Ejemplos de conjuntos ordenados que no son redes

El orden discreto (cualquier dos elementos diferentes son incomparables) será una red solo si solo hay un elemento.
Los divisores de 36 sin 6 son {1, 2, 3, 12, 18, 36}. 2 y 3 no tienen una cara superior exacta, y 12 y 18 no tienen una cara inferior exacta.

Véase también

Enlaces

Monografías disponibles gratuitamente en Internet:

Burris, Stanley N., H. P. Sankappanavar . Un curso de álgebra universal. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2 .
Peter Jeepsen, Henry Rose . Variedades de entramados: notas de conferencias sobre matemáticas 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8 .

Textos elementales para los que tienen poca cultura matemática:

Tomás Donnellan . Teoría de la red. — Pérgamo, 1968.
G. Gratzer . Teoría de celosías: Primeros conceptos y celosías distributivas. — WH Freeman, 1971.

Las habituales introducciones al tema, algo más complejas que las anteriores:

BA Davey, HA Priestley . Introducción a las Celosías y el Orden. — Prensa de la Universidad de Cambridge , 2002.

Monografías avanzadas:

Garret Birkhoff . Teoría de la red. — 3ra ed. vol. 25 de Publicaciones del Coloquio AMS. Sociedad Matemática Estadounidense, 1967.
Robert P. Dilworth, Peter Crawley . Teoría algebraica de celosías. - Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5 .

Sobre celosías libres:

R. Freese, J. Jezek, J. B. Nación . Retículos libres. - Encuestas y monografías matemáticas vol. 42 Asociación Matemática de América , 1985.
PT Johnstone . espacios de piedra. - Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas 3. Cambridge University Press, 1982.

Literatura

Birkhoff G. Teoría de estructuras / Per. De inglés. - M, 1952;
Skornyakov L. A. Elementos de la teoría de estructuras. - M., 1970;
Zhitomirsky G. I. Conjuntos ordenados y celosías. - Sarátov, 1981;
Gretzer G. Teoría general de las redes / Per. De inglés. -M., 1982.