Sistema de Ecuaciones Simultáneas

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Un sistema de ecuaciones simultáneas es un conjunto de ecuaciones econométricas (a menudo lineales ) que determinan la interdependencia de las variables económicas. Una característica importante que distingue el sistema de ecuaciones "simultáneas" de otros sistemas de ecuaciones es la presencia de las mismas variables en las partes derecha e izquierda de diferentes ecuaciones del sistema (estamos hablando de la llamada forma estructural del modelo , vea abajo).

Las variables se denominan endógenas, cuyos valores se determinan en el proceso de funcionamiento del sistema económico estudiado. Sus valores se determinan "simultáneamente" en función de los valores de algunas variables exógenas, cuyos valores se determinan fuera del modelo, se establecen desde el exterior. En los sistemas de ecuaciones simultáneas, las variables endógenas dependen tanto de variables exógenas como endógenas.

Medida de la estrechez de la relación entre variables, la construcción de ecuaciones de regresión aisladas no es suficiente para explicar el funcionamiento de sistemas económicos complejos. No puede ocurrir un cambio en una variable mientras las otras permanecen absolutamente sin cambios. Su cambio implicará cambios en todo el sistema de características interrelacionadas. Por lo tanto, una sola ecuación de regresión no puede caracterizar la verdadera influencia de las características individuales en la variación de la variable resultante. Por lo tanto, en la investigación económica, el problema de describir la estructura de relaciones entre un sistema de variables ha tomado un lugar importante.

Forma estructural y reducida. Identificabilidad

La forma estructural de un sistema es una representación del sistema en la que más de una variable endógena puede estar presente en las ecuaciones (en notación estándar, esto significa que hay variables endógenas en el lado derecho de las ecuaciones, es decir, como regresores). La forma estructural del sistema describe el sistema de interdependencias entre variables económicas.

${\begin{casos}y_{1t}=\sum_{(i\not =1)}a_{1i}y_{it}+\sum_{j=1}^{q}b_{1j }x_{jt}+\varepsilon _{1t}\\y_{2t}=\sum _{(i\not =2)}a_{2i}y_{it}+\sum _{j=1}^{ q}b_{2j}x_{jt}+\varepsilon _{2t}\\...\\y_{pt}=\sum_{(i\not =p)}a_{pi}y_{it}+ \sum _{j=1}^{q}b_{pj}x_{jt}+\varepsilon _{pt}\\\end{casos}}$

Al transferir las variables endógenas al lado izquierdo, la forma estructural se puede representar en la siguiente forma matricial

$YA=XB+E$

La forma reducida (predictiva) del sistema es la representación del sistema, en la que cada ecuación tiene una sola variable endógena, es decir, las variables endógenas se expresan a través de las exógenas:

${\ estilo de visualización Y = X \ Pi + U}$

Esta es la llamada forma reducida sin restricciones. La forma estructural se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle Y=XBA^{-1}+EA^{-1))$

Esta es la llamada forma reducida restringida, es decir, una forma reducida con una restricción en los coeficientes de la siguiente forma: . ${\ estilo de visualización \ Pi = BA ^ {-1}}$

Si se da una forma estructural, siempre es posible obtener una forma reducida restringida (se supone que la matriz A no es degenerada). Sin embargo, lo contrario no siempre es posible y, si es posible, no siempre es inequívoco.

Una ecuación estructural se dice identificable si sus coeficientes se pueden expresar en términos de los coeficientes de la forma reducida. Si esto se puede hacer de una sola manera, entonces dicen sobre la identificabilidad exacta , si de varias maneras, sobre la identificabilidad excesiva . De lo contrario, se llama no identificable. La sobreidentificación en realidad significa que se imponen algunas restricciones (sobreidentificación) a los coeficientes de la forma reducida. En la forma reducida completa , todas las variables exógenas están involucradas y no se imponen restricciones a los coeficientes.

Una condición necesaria para la identificabilidad de una ecuación estructural ( condición ordinal ): el número de variables en el lado derecho de la ecuación no debe exceder el número de todas las variables exógenas del sistema . En la forma canónica (cuando no hay partes "izquierda" y "derecha"), esta condición a veces se formula de la siguiente manera: el número de variables exógenas excluidas de la ecuación dada no debe ser menor que el número de variables endógenas incluidas en la ecuación. ecuación menos uno. Si no se cumple esta condición, entonces la ecuación es inidentificable. Si se realiza con un signo igual, probablemente sea identificable positivamente; de lo contrario, es sobreidentificable.

Condición suficiente para la identificabilidad de una ecuación estructural: el rango de la matriz compuesta por coeficientes (en otras ecuaciones) para variables que están ausentes en esta ecuación no es menor que el número total de variables endógenas del sistema menos uno.

Ejemplos

El modelo macroeconómico (keynesiano) más simple

${\begin{casos}C_{t}=a+bY_{t}+\varepsilon _{t}\\Y_{t}=C_{t}+I_{t}\end{casos))$

Aquí C e Y son el consumo (gasto de consumo) y el ingreso son variables endógenas del modelo, I es la inversión es una variable exógena del modelo, b es la propensión marginal a consumir

La forma dada del modelo se ve así:

${\begin{casos}C_{t}=a/(1-b)+b/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0 }+(m-1)I_{t}+u_{t}=\pi_{11}+\pi_{12}I_{t}+u_{t}\\Y_{t}=a/(1 -b)+1/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0}+mI_{t}+u_{t}=\pi _{21} +\pi _{22}I_{t}+u_{t}\end{casos}}$

El valor se denomina multiplicador de la inversión (un aumento de una unidad en la inversión conduce a un cambio significativamente mayor en los ingresos). ${\ estilo de visualización m = 1/(1-b)}$

Se puede comprobar la condición de identificabilidad ordinal. En la primera ecuación del lado derecho, hay 1 variable endógena y ninguna variable exógena (ignorando la constante). Hay 1 variable exógena en el modelo (también sin constante). Por lo tanto, se satisface la condición ordinal (necesaria) de identificabilidad.

Se puede observar que la forma reducida está limitada con dos restricciones y . ${\ estilo de visualización \ pi _ {11} = \ pi _ {21}}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {22} - \ pi _ {12} = 1}$

Sistemas recursivos de ecuaciones

Un caso especial de sistemas de ecuaciones simultáneas son los llamados. sistemas recursivos , en los que la matriz de coeficientes para las variables endógenas es triangular (normalmente triangular inferior). Esto significa que en la primera ecuación una variable endógena se expresa solo a través de las exógenas. En el segundo, el segundo endógeno por exógeno y, posiblemente, por el primero endógeno. El tercero - a través de exógeno y a través de los dos primeros endógenos, etc. Se dice que dicho modelo es puramente recursivo si, además, los errores aleatorios de las diferentes ecuaciones no están correlacionados.

Métodos de estimación de sistemas de ecuaciones simultáneas

La aplicación directa del método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar las ecuaciones de un sistema (en forma estructural) es inapropiada, ya que en los sistemas de ecuaciones simultáneas se viola la condición más importante del análisis de regresión, la exogeneidad de los factores. Esto lleva a que las estimaciones de los parámetros sean sesgadas e inconsistentes .

Mínimos cuadrados indirectos

El método de los mínimos cuadrados ordinarios se puede aplicar a la forma reducida del sistema, ya que en esta forma se supone que todos los factores son exógenos. La esencia del método indirecto de mínimos cuadrados ( KMNK , ILS ) es estimar los coeficientes estructurales sustituyendo en la expresión analítica su dependencia de las estimaciones dadas de estos últimos, obtenidas por el método habitual de mínimos cuadrados. Las estimaciones obtenidas serán consistentes.

El uso del método indirecto de mínimos cuadrados solo es posible si el sistema es identificable con precisión. Sin embargo, a menudo las ecuaciones del sistema están sobreidentificadas. En este caso, hay varios estimados asintóticamente equivalentes pero diferentes de los parámetros de forma estructural, y en el caso general no hay criterio para elegir entre ellos.

Mínimos cuadrados de dos pasos

La esencia del método de mínimos cuadrados en dos pasos ( DMLS , TSLS , 2SLS ) es la siguiente:

Paso 1. La dependencia de las variables endógenas de todas las variables exógenas se estima utilizando el método habitual de mínimos cuadrados (de hecho, se estima la forma reducida ilimitada ).

Paso 2. La forma estructural del modelo se estima mediante el método de mínimos cuadrados ordinarios, donde en lugar de variables endógenas se utilizan sus estimaciones obtenidas en el primer paso.

Con una identificabilidad exacta del sistema, las estimaciones de LSLS coinciden con las estimaciones de LSLS.

Se puede demostrar que las estimaciones de LSSM de los parámetros de cada ecuación son en realidad iguales:

${\hat {\beta }}_{TSLS}=(Z^{T}WZ)^{-1}Z^{T}WY~,~~W=X(X^{T}X) ^{-1}X^{T}$

donde Z es la matriz de todas las variables del lado derecho de esta ecuación, X es la matriz de todas las variables exógenas del sistema.

MCO de tres pasos

En el método de mínimos cuadrados en dos pasos, de hecho, cada ecuación de la forma estructural se evalúa independientemente de otras ecuaciones, es decir, la posible relación de errores aleatorios de las ecuaciones de la forma estructural entre sí no se tiene en cuenta. En el método de mínimos cuadrados de tres pasos ( TMLS , 3SLS ), los primeros dos pasos son los mismos que LSLS y agregan:

Paso 3. Sobre la base de las estimaciones de LMNC de los residuos de las ecuaciones estructurales, se obtiene una estimación de la matriz de covarianza del vector de errores aleatorios del sistema y con su ayuda se obtiene una nueva estimación de los coeficientes utilizando los mínimos cuadrados generalizados. método _

Si hay correlaciones entre las ecuaciones, las estimaciones de LSLS teóricamente deberían ser mejores que las estimaciones de LSLS.

Métodos de máxima verosimilitud

El método de máxima verosimilitud de información completa ( FIML ) es un método que utiliza toda la información sobre las restricciones en la forma reducida del modelo.

El Método de Máxima Verosimilitud de Información Limitada ( LIML , Método de Relación de Dispersión Mínima ) está diseñado para estimar una sola ecuación de un sistema. Las ecuaciones restantes se evalúan solo en la medida necesaria para evaluar la ecuación dada. El primero se evalúa de forma estructural, el resto de forma reducida ilimitada, es decir, no se utiliza toda la información disponible en la evaluación. Este método se reduce a encontrar el valor propio mínimo de una determinada matriz simétrica.

Pruebas de sistemas de ecuaciones simultáneas

Prueba de sobreidentificación de restricciones

Para probar las restricciones de identificación excesiva, se puede usar una prueba de razón de verosimilitud con una estadística que tiene una distribución con el número de grados de libertad igual al número de restricciones. Las funciones de verosimilitud logarítmica concentrada del sistema hasta una constante tienen la forma: $LR=2(l_{c}^{L}-l_{c}^{S})$ $\chi^{2}$

$l_{c}=-{\frac {n}{2}}\ln |(YX\Pi )^{T}(YX\Pi )|$

donde para un modelo largo no se limita, sino para uno corto . $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ Pi = BA ^ {-1}}$

Notas

Véase también

Literatura

Ayvazyan S.A. Estadísticas aplicadas. Fundamentos de econometría. Volumen 2. - M. : Unity-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Kremer N.Sh., Putko B.A. Econometría. - M. : Unidad-Dana, 2003-2004. — 311 pág. — ISBN 8-86225-458-7 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometría. Curso inicial. - M. : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Econometría. Libro de texto / Ed. Eliseeva II - 2ª ed. - M. : Finanzas y estadísticas, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .

El mismo término "sistema de ecuaciones simultáneas" es incorrecto. ¿Y qué, hay ecuaciones de tiempo diferente? El hecho de que este papel de calco analfabeto del idioma inglés se haya extendido a través de la literatura rusa (e incluso los libros de texto de econometría) no puede servir como excusa. Basta con mirar en cualquier diccionario matemático inglés-ruso para ver que "ecuaciones simultáneas" se traduce como "sistema de ecuaciones". El significado del adjetivo "simutáneo" en el término inglés es que estas ecuaciones deben resolverse simultáneamente, y no por separado (y en absoluto que estas ecuaciones sean "simultáneas").