Matriz adjunta

En álgebra lineal, la matriz acompañante de un polinomio unitario

{\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\dots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n))

llamada matriz cuadrada

C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\\\end{bmatriz}}.

Propiedades

El polinomio es tanto el polinomio característico como el mínimo de la matriz , y es en este sentido que la matriz acompaña al polinomio . $p(x)$ ${\ estilo de visualización C (p)}$ ${\ estilo de visualización C (p)}$ $p(x)$

Si es una matriz de dimensión con elementos del campo , entonces las siguientes declaraciones son equivalentes: $A$ $n\veces n$ $\matemáticas {F}$

$A$ es similar a su matriz acompañante sobre el campo . $\matemáticas {F}$
El polinomio característico de una matriz es el mismo que su polinomio mínimo . $A$
Existe un vector cíclico tal que los vectores forman una base del espacio . $v\in V=F^{n}$ $v,Av,A^{2}v,\dots,A^{n-1}v$ $V$

No toda matriz cuadrada es como una matriz acompañante, pero toda matriz cuadrada es como una matriz diagonal por bloques , cada uno de cuyos bloques es una matriz acompañante. Además, estas matrices adjuntas se pueden elegir de modo que sus polinomios se dividan entre sí. Tal matriz se determina únicamente a partir de la matriz cuadrada original y se denomina forma normal de Frobenius .

Diagonalizabilidad

Si el polinomio tiene raíces: (que son valores propios de la matriz ), entonces es diagonalizable , es decir, se puede representar como $p(x)$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos, \ lambda _ {n}}$ ${\ estilo de visualización C (p)}$ ${\ estilo de visualización C (p)}$

VC(p)V^{-1}={\mbox{diag}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\puntos,\lambda _{n}),

donde es la matriz de Vandermonde correspondiente a las raíces del polinomio . $V$ $p(x)$

Secuencias recurrentes lineales

Matriz complementaria transpuesta

C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1 \\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\\\end{bmatriz}}

polinomio característico

{\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\dots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n))

genera una secuencia lineal recurrente en el siguiente sentido $a_{0},a_{1},\puntos,a_{k},\puntos$

C^{T}(p){\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+(n-1)}\end{bmatrix)) ={\begin{bmatriz}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatriz)),

donde los elementos de la secuencia satisfacen el sistema de ecuaciones lineales

{\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}-\dots -c_{n-1}a_{k+n-1))

para todos $k\geq 0$

Literatura

RA Horn, C. R. Johnson. cap. 4.3 // Análisis matricial (indefinido) . — Prensa de la Universidad de Cambridge , 1985.