Espacio estrictamente normado

En matemáticas , los espacios estrictamente normados son una subclase importante de espacios normados , que son similares en estructura a los espacios de Hilbert . Para tales espacios, se ha resuelto el problema de la unicidad de las aproximaciones, y esta propiedad se usa ampliamente en matemáticas computacionales y física matemática. Además, en un espacio estrictamente normado, un segmento que conecta dos puntos de una esfera arbitraria se encontrará enteramente estrictamente dentro (con la excepción de los puntos límite) de una bola abierta limitada por esta esfera.

Un espacio normado X se llama estrictamente normado (o estrictamente convexo ) si para satisfacer arbitrariamente la condición existe tal que . $x,y\en X$ ${\ estilo de visualización \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización y = \ lambda x}$

Propiedades de los espacios estrictamente normados

Sea X un espacio estrictamente normado y L un subespacio lineal de . Entonces porque hay a lo sumo un elemento tal que . ${\ estilo de visualización \ para todos x \ en X}$ ${\ estilo de visualización u \ en L}$ ${\ estilo de visualización \ rho (x, L) = \ | xu \ |}$

El elemento se denomina elemento de mejor aproximación por x elementos de L . La existencia de un elemento de mejor aproximación está asegurada por el siguiente teorema. $tu$

teorema _ Sea X un espacio normado y L un subespacio lineal de dimensión finita. Entonces porque existe un elemento de mejor aproximación . ${\ estilo de visualización \ para todas las x \ en E}$ ${\ estilo de visualización u \ en L}$

Además, en un espacio normado, pero no estrictamente normado, el elemento de mejor aproximación, en términos generales, no es único.

Cada bola de un espacio estrictamente normado es un conjunto estrictamente convexo . Lo contrario también es cierto, si cada bola en un espacio normado es un conjunto estrictamente convexo, entonces el espacio dado está estrictamente normado.
Un espacio normado X está estrictamente normado si y solo si la condición siempre implica que . $\forall x,y\in X:\|x\|=1,\|y\|=1,x\neq y$ ${\ estilo de visualización \|x+y\|<2}$

Ejemplos de espacios estrictamente normados

$\matemáticas R^2$ con la norma . Sin embargo, las normas y sobre que equivalen a la norma no generan un espacio estrictamente normado (ver figura). ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2))))$ $\|\mathbf {x} \|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty}=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|\))$ $\matemáticas R^2$ ${\ estilo de visualización \|\ cdot \|_{2))$
$L_{p}$ , donde . Este hecho se deriva de la desigualdad de Young , que se utiliza en la derivación de las desigualdades de Hölder y Minkowski . $1<p<\infty$
Espacios de Hilbert

Literatura

Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.
Análisis funcional / editor Crane S. G. - 2º, revisado y complementado. — M .: Nauka , 1972 . — 544 pág. — (Biblioteca matemática de referencia).