Teorema estructural para módulos generados finitamente sobre dominios de ideales principales

El teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre dominios ideales principales es una generalización del teorema sobre la clasificación de grupos abelianos generados finitamente . Este teorema proporciona una forma general de entender algunos resultados sobre formas canónicas de matrices.

Teorema

Si un espacio vectorial sobre un campo k tiene un conjunto generador finito, siempre se puede elegir una base de él , de modo que el espacio vectorial sea isomorfo a k n . Para módulos finitamente generados , esto ya no es cierto (el contraejemplo es , que es generado por un elemento como un módulo Z ), sin embargo, dicho módulo puede representarse como un módulo factorial de la forma R n /A (ver esto, es suficiente mapear la base R n en un conjunto generador y usar el teorema del homomorfismo ). Al cambiar la elección de la base en R n y el grupo electrógeno en el módulo, este factor se puede reducir a una forma simple, y esto da el teorema de estructura. $\matemáticas Z_2$

La formulación del teorema de la estructura suele darse de dos formas diferentes.

Descomposición en factores invariantes

Cada módulo M generado finitamente sobre el dominio de los ideales principales R es isomorfo a un módulo único de la forma

\bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}) ,

donde y (es decir, divisible por ). El orden de los distintos de ceros se determina de forma única, al igual que el número . $(d_i) \neq R$ $d_i \vert d_{i+1}$ $d_{i+1}$ $d_{i}$ $(d_i)$ $(d_i)=0$

Por lo tanto, para indicar un módulo M generado finitamente, basta con indicar distinto de cero (satisfaciendo dos condiciones) y un número igual a cero . Los elementos están definidos unívocamente hasta la multiplicación por elementos invertibles del anillo y se denominan factores invariantes. $(d_i)$ $(d_i)$ $d_{i}$

Descomposición en factores primarios

Cada módulo M generado finitamente sobre el dominio de los ideales principales R es isomorfo a un módulo único de la forma

\bigoplus _{i}R/(q_{i}),

donde y todos son ideales primarios . Además, ellos mismos están determinados unívocamente (hasta la multiplicación por elementos reversibles). $(q_i) \neq R$ $(q_i)$ $q_{yo}$

En el caso de que el anillo R sea euclidiano , todos los ideales primarios son potencias de números primos , es decir, . $(q_i)=(p_i^{r_i})$

Bosquejo de una prueba para anillos euclidianos

Muchos dominios ideales principales también son anillos euclidianos . Además, la demostración de los anillos euclidianos es algo más sencilla; aquí están sus pasos principales.

Lema. Sea A un anillo euclidiano, M un módulo A libre y N su submódulo. Entonces N también es libre, su rango no excede el rango de M , y existe una base {e 1 , e 2 , … e m } del módulo M y elementos distintos de cero {u 1 , … uk } del anillo A tal que {u 1 e 1 , … u k e k } es la base de N y u i+1 es divisible por u i .

La demostración de que N es libre es por inducción sobre m . La base m = 0 es obvia, demostremos el paso de inducción. Sea M 1 generado por los elementos {e 1 , … e m-1 }, N 1 — la intersección de M 1 y N — es libre por la suposición inductiva. Las últimas coordenadas de los elementos N en la base {e 1 , … e m } forman un submódulo del anillo A (es decir, un ideal), A es un anillo de ideales principales, entonces este ideal es generado por un elemento; si el ideal es cero — N coincide con N 1 , pero si es generado por el elemento k , basta con sumar a la base N 1 un vector cuya última coordenada es igual a k . Ahora podemos escribir una matriz con elementos de A correspondientes a la incrustación de N en M : en las columnas de la matriz, escribimos las coordenadas de los vectores base N en alguna base M. Describamos el algoritmo para llevar esta matriz a una forma diagonal mediante transformaciones elementales . Intercambiando filas y columnas, movemos el elemento distinto de cero a con la norma más pequeña a la esquina superior izquierda . Si todos los elementos de la matriz son divisibles por ella, restamos la primera fila del resto con un coeficiente tal que todos los elementos de la primera columna (excepto el primer elemento) se vuelven cero; luego, de manera similar, restamos la primera columna y procedemos a las transformaciones del cuadrado que queda en la esquina inferior derecha, cuya dimensión es uno menos. Si hay un elemento b que no es divisible por a , podemos reducir el mínimo de la norma sobre elementos distintos de cero de la matriz aplicando el algoritmo euclidiano al par ( a , b ) (las transformaciones elementales nos permiten hacer esto ). Dado que la norma es un número natural, tarde o temprano llegaremos a una situación en la que todos los elementos de la matriz son divisibles por . Es fácil ver que, al final de este algoritmo, las bases M y N satisfacen todas las condiciones del lema.

Fin de la prueba. Considere un módulo T generado finitamente con un sistema de generadores {e 1 , … e m }. Hay un homomorfismo de un módulo libre a este módulo que asigna una base a un sistema de generadores. Aplicando el teorema del homomorfismo a esta aplicación , obtenemos que T es isomorfo al factor . Reduzcamos las bases y a la forma de las bases en el lema. Es fácil ver eso $A ^ m$ $A ^ m$ $A^m / \text{ker}f$ $A ^ m$ $\text{ker}f$

A^m / (u_1e_1, u_2e_2, \ldots u_ke_k) \cong A/(u_1) \oplus \ldots \oplus A/(u_k) \oplus A^{nk}

Cada término finito aquí se puede descomponer en un producto de los primarios, ya que el anillo A es factorial (ver el artículo Teorema del resto chino ). Para probar la unicidad de esta descomposición, necesitamos considerar el submódulo de torsión (entonces la dimensión de la parte libre se describe en términos invariantes como la dimensión del factor con respecto a la torsión), así como el submódulo p -torsión para cada elemento primo p del anillo A . El número de términos de la forma (para todo n ) se describe invariablemente como la dimensión del submódulo de elementos aniquilados por la multiplicación por p como un espacio vectorial sobre un campo . $A/(p^n)$ $A/(pag)$

Consecuencias

El caso da una clasificación de grupos abelianos finitamente generados . $R=\matemáticas{Z}$

Sea T un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo K . V puede considerarse como un módulo sobre (de hecho, sus elementos pueden multiplicarse por escalares y por T ), la dimensionalidad finita implica una generación finita y la ausencia de una parte libre. El último factor invariante es el polinomio mínimo , y el producto de todos los factores invariantes es el polinomio característico . Eligiendo la forma estándar de la matriz del operador T que actúa sobre el espacio , obtenemos las siguientes formas de la matriz T sobre el espacio V : $K[T]$ $K[T]/p(T)$

factores invariantes + matriz acompañante da la forma normal de Frobenius
factores primarios + celda de Jordan da una forma normal de Jordan (en el caso de que el campo K sea algebraicamente cerrado ).

Véase también

Smith forma normal

Notas

Bourbaki N. Álgebra. Parte 3. Módulos, anillos, formas. - M.: Nauka, 1966. Capítulo VII.
Vinberg E. B. , curso de Álgebra. - M.: Editorial'Factorial Press, 2001.
P. Aluffi. Álgebra: Capítulo 0 (Estudios de posgrado en matemáticas) - Sociedad matemática estadounidense, 2009 - ISBN 0-82184-781-3 .
Hungerford, Thomas W. (1980), Álgebra , Nueva York: Springer, p. 218–226, Sección IV.6: Módulos sobre un dominio ideal principal, ISBN 978-0-387-90518-1