Teoremas de isomorfismo

Los teoremas de isomorfismo en álgebra son una serie de teoremas que relacionan los conceptos de factor , homomorfismo y objeto anidado . El enunciado de los teoremas es un isomorfismo de algún par de grupos , anillos , módulos , espacios lineales , álgebras de Lie u otras estructuras algebraicas (dependiendo de la aplicación). Por lo general, hay tres teoremas de isomorfismo, llamados el Primero (también el teorema principal del homomorfismo), segundo y tercero. Aunque tales teoremas se derivan con bastante facilidad de la definición del factor y nadie es particularmente acreditado por su descubrimiento, se cree que Emmy Noether dio las formulaciones más generales .

Grupos

Primer teorema

Sea un homomorfismo de grupos , entonces:

  1. El núcleo φ es un subgrupo normal de  G ;
  2. La imagen φ es un subgrupo de  H ;
  3. La imagen φ es isomorfa al grupo de factores G  / ker φ.

En particular, si el homomorfismo φ es sobreyectivo (es decir, es un epimorfismo ), entonces el grupo H es isomorfo al grupo de factores G  /ker φ.

Segundo teorema

Sea G un grupo, S un subgrupo de  G , N un subgrupo normal de  G , entonces:

  1. El producto es un subgrupo de  G ;
  2. La intersección es un subgrupo normal de  S ;
  3. Los grupos de factores y son isomorfos.

Tercer teorema

Sean G un grupo, N y K subgrupos normales de  G tales que K  ⊆  N , entonces:

  1. N  /  K es un subgrupo normal de  G  /  K ;
  2. El grupo cociente de grupos cocientes ( G  /  K )/( N  /  K ) es isomorfo al grupo cociente G  /  N .

Anillos

En esta área, el concepto de un subgrupo normal se reemplaza por el concepto de un ideal de un anillo .

Primer teorema

Sea un homomorfismo de anillos , entonces:

  1. El kernel φ es un ideal en  R ;
  2. La imagen φ es un subanillo en  S ;
  3. La imagen φ es isomorfa al anillo de factores R  / ker φ.

En particular, si el homomorfismo φ es sobreyectivo (es decir, es un epimorfismo), entonces el anillo S es isomorfo al anillo factorial R  / ker φ.

Segundo teorema

Sea R un anillo, S un subanillo en  R , I un ideal en  R , entonces:

  1. La suma S  +  I es un subanillo en  R ;
  2. La intersección S  ∩  I es un ideal en  S ;
  3. Los anillos de factores ( S  +  I ) /  I y S  / ( S  ∩  I ) son isomorfos.

Tercer teorema

Sea R un anillo, A y B ideales en  R tales que B  ⊆  A , entonces:

  1. A  /  B es un ideal en  R  /  B ;
  2. El anillo cociente de anillos cocientes ( R  /  B )/( A  /  B ) es isomorfo al anillo cociente R  /  A .

Módulos, grupos abelianos y espacios lineales

Los teoremas de isomorfismo para grupos abelianos y espacios lineales son un caso especial de los teoremas para módulos , que se formularán. Para espacios lineales, se puede encontrar más información en el artículo " kernel de mapeo lineal ".

Primer teorema

Sea un homomorfismo de módulos, entonces:

  1. El kernel φ es un submódulo en  M ;
  2. La imagen φ es un submódulo en  N ;
  3. La imagen φ es isomorfa al módulo cociente M  / ker φ.

Segundo teorema

Sea M un módulo, S y T submódulos en  M , entonces:

  1. La suma S  +  T es un submódulo en  M ;
  2. La intersección S  ∩  T es un submódulo en  M ;
  3. El módulo cociente (S + T) / T es isomorfo al módulo cociente S  / ( S  ∩  T ).

Tercer teorema

Sea M un módulo, S y T submódulos en  M tales que T  ⊆  S , entonces:

  1. S  /  T es un submódulo en  M  /  T ;
  2. El conjunto factorial de módulos factoriales ( M  /  T )/( S  /  T ) es isomorfo al módulo factorial M  /  S .

Véase también