Tabla de derivadas

El cálculo de derivadas es la operación más importante en el cálculo diferencial . Este artículo contiene una lista de fórmulas para encontrar derivadas de ciertas funciones.

En estas fórmulas , y son funciones derivables arbitrarias de una variable real y a es una constante real. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental . $F$ $gramo$ $C$

Derivadas de funciones simples

${d\sobre dx}c=0$

${d\sobre dx}x=1$

${d\sobre dx}cx=c$

Conclusión

$(cx)'=cx'=c$

${d\sobre dx}x^{c}=cx^{{c-1}},$ cuando estás definido, ${\ estilo de visualización x^{c))$ $cx^{c-1}$ $c\neq 0$

Conclusión

(x+h)^{c}=x^{c}+(x^{c})'h+o(h)

(x+h)^{c}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

\sum _{{k=0}}^{c}{c \elegir k}x^{{ck}}h^{{k}}-x^{c}=(x^{c})'h +o(h)

x^{c}+cx^{{c-1}}h+\sum_{{k=2}}^{c}{c \elegir k}x^{{ck}}h^{{k}} -x^{c}=(x^{c})'h+o(h)

cx^{{c-1}}h+\sum_{{k=2}}^{c}{c \elegir k}x^{{ck}}h^{{k}}=(x^{c })'h+o(h)

cx^{{c-1}}h+o(h)=(x^{c})'h+o(h)

\lim_{{h\rightarrow 0}}(cx^{{c-1}}+{\frac {o(h)}{h}})=\lim_{{h\rightarrow 0}}(( x^{c})'+{\frac{o(h)}{h)))

cx^{{c-1}}=(x^{c})'

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname{sgn} x,\qquad x\neq 0$

Conclusión Dado que , entonces deja

|x|={\raíz cuadrada {x^{2}}}

g(x)=x^{2},\quad h(x)={\sqrt {x}}

f(x)=h(g(x))={\sqrt {x^{2}}}=|x|

Después

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2))))}\cdot 2x={\frac {x}{{\raíz cuadrada {x^{2}}}}}={\frac {x}{|x|}}

${d \sobre dx}\left({1 \sobre x}\right)={d \sobre dx}\left(x^{{-1}}\right)=-x^{{-2}}= -{1 \sobre x^{2}}$

${d \sobre dx}\left({1 \sobre x^{c}}\right)={d \sobre dx}\left(x^{{-c}}\right)=-{c \sobre x ^{{c+1}}}$

${d \sobre dx}{\sqrt {x}}={d \sobre dx}x^{{1 \sobre 2}}={1 \sobre 2}x^{{-{1 \sobre 2}}} ={1 \sobre 2{\sqrt {x}}}},\qquad x>0$

${d \sobre dx}{\sqrt[ {n}]{x}}={d \sobre dx}x^{{1 \sobre n}}={1 \sobre n}x^{{1-n \ sobre n}}={\frac {1}{n\cdot {\sqrt[ {n}]{x^{{n-1}}}}}}$

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

${d \sobre dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

Conclusión

${d \sobre dx}c^{x}={d \sobre dx}e^{{x\ln c}}=e^{{x\ln c}}\ln c=c^{x}\ln C$

${d\sobre dx}e^{x}=e^{x}$

${d\sobre dx}e^{{f(x)}}=f'(x)e^{{f(x)}}$

${d \sobre dx}\ln x={1 \sobre x}$
${d \sobre dx}\log _{a}x={\frac {\log _{a}e}{x}}={\frac {1}{x\ln a}}$

Conclusión

log_{a}(x+h)=log_{a}x+(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}(x+h)-log_{a}x=(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}(1+{\frac {h}{x}})=(log_{a}x)'h+o(h)

log_{a}e{\frac {h}{x}}=(log_{a}x)'h+o(h)

${\frac {d}{dx}}\log _{a}f(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln f(x)}{\ln(a))) ) ={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a))).$

Derivadas de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas

${d\sobre dx}\sen x=\cos x$

Conclusión

\sen(x+h)=\sen x+(\sen x)'h+o(h)

\sen(x+h)-\sen x=(\sen x)'h+o(h)

2\sin {\frac {h}{2}}\cos {\frac {2x+h}{2}}=(\sin x)'h+o(h)

2({\frac {h}{2}}+o(h))(\cos x+o(1))=(\sin x)'h+o(h)

(\cos x)h+o(h)=(\sen x)'h+o(h)

\cos x=\sin 'x

${d\sobre dx}\cos x=-\sin x$

${d \over dx}\,\operatorname {tg}\,x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg}^{2}x+1$

${d \over dx}\,\operatorname {ctg} \,x=-\,\operatorname {cosec} ^{2}\,x=-{1 \over \sin ^{2}x}$

${d \over dx}\sec x=\,\operatorname {tg}\,x\sec x$

${d \over dx}\,\operatorname {cosec}\,x=-\,\operatorname {ctg}\,x\,\operatorname {cosec}\,x$

${d \sobre dx}\arcsen x={1 \sobre {\sqrt {1-x^{2))))$

${d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2))))$

${d \sobre dx}\,\nombre del operador {arctg}\,x={1 \sobre 1+x^{2}}$

${d \over dx}\,\operatorname {arcctg} \,x=-{1 \over 1+x^{2))$

${d \over dx}\operatorname{arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccosec} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Derivadas de funciones hiperbólicas

{d \over dx}\,\nombre del operador {sh}\,x=\,\nombre del operador {ch}\,x

{d \over dx}\,\nombre del operador {ch}\,x=\,\nombre del operador {sh}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {th} \,x=\,\operatorname {sech} ^{2}\,x=1-\operatorname {th} ^{2}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {sech}\,x=-\operatorname {th}x\,\operatorname {sech}\,x

{d \over dx}\,\nombre del operador {cth}\,x=-\,\nombre del operador {csch}^{2}\,x

{d \over dx}\,\nombre del operador {csch}\,x=-\,\nombre del operador {cth}\,x\,\nombre del operador {csch}\,x

{d \over dx}\,\operatorname {arsh}\,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1))}

{d \over dx}\,\operatorname {arco}\,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}

{d \sobre dx}\,\nombre del operador {arth}\,x={1 \sobre 1-x^{2}}

, a

|x|<1

{d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2))))

{d \sobre dx}\,\nombre del operador {arco}\,x={1 \sobre 1-x^{2}}

, a

|x|>1

{d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2))))

Reglas para diferenciar funciones generales

\left({cf}\right)'=cf'

\left({f+g}\right)'=f'+g'

\left({fg}\right)'=f'-g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

(un caso especial de la fórmula de Leibniz )

\left({f \sobre g}\right)'={f'g-fg' \sobre g^{2}},\qquad g\neq 0

(f^{g})'=\left(e^{{g\ln f}}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\ derecha),\qquad f>0

(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

— La regla de derivación de una función compleja

f'=(\ln f)'f,\qquad f>0

(f^{c})'=c\izquierda(f^{{c-1}}\derecha)f'

Véase también

Tabla de antiderivadas