Teorema de Levy sobre la convergencia monotónica

El teorema de la convergencia monotónica ( teorema de Beppo Levy ) es un teorema de la teoría de integración de Lebesgue que tiene una importancia fundamental para el análisis funcional y la teoría de la probabilidad , donde sirve como herramienta para probar muchas afirmaciones. Da una de las condiciones bajo las cuales es posible pasar al límite bajo el signo de la integral de Lebesgue [1] , el teorema nos permite probar la existencia de un límite integrable para algunas sucesiones funcionales acotadas.

Varias formulaciones a partir del análisis funcional

En lo que sigue , se denota el espacio de funciones integrables sobre un espacio con medida . No se supone que la medida sea finita. Para todas las integrales siguientes, el área de integración es todo el espacio . $L_{1}(X,\mu )$ ${\ estilo de visualización (X, \ mu)}$ $X$

Teorema de Levi (sobre el límite monótono de las funciones integrables). Sea una secuencia monótonamente no decreciente de funciones integrables en , es decir $f_{n}\en L_{1}(X,\mu )$ $X$

f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)

para todos y .

n\in {\matemáticas {N}}

x\en X

Si sus integrales están acotadas entre sí:

\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K

Después:

hay un límite finito en casi todas partes (es decir, las funciones convergen puntualmente a alguna función en casi todas partes en ); $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $X$
la función límite es integrable en , es decir ; $f(x)$ $X$ $f\in L_{1}(X,\mu )$
las funciones convergen a una función en promedio, es decir, según la norma espacial ; $f_{n}(x)$ $f(x)$ $L_{1}(X,\mu )$
llevemos el paso al límite bajo el signo integral:

\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu

Otra forma del teorema de Levy se refiere a la integración término por término de series no negativas:

Teorema de Levy (sobre la integración término a término de series no negativas). Sean funciones no negativas integrables en . Si las integrales de las sumas parciales de la serie están acotadas en el agregado ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} \ en L_ {1} (X, \ mu)}$ $X$

\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C

después

la serie converge en casi todas partes a un valor finito; $\sum _{{k=1}}^{\infty}\varphi _{k}(x)$
la suma de la serie es una función integrable; $\sum _{{k=1}}^{\infty}\varphi _{k}(x)$
la sucesión de sumas parciales de una serie converge a su suma en la norma espacial ; $L_{1}(X,\mu )$
Es admisible la integración término a término de la serie funcional:

\int \sum_{k=1}^{\infty}\varphi_{k}(x)d\mu =\sum_{k=1}^{\infty}\int \varphi_{ k}(x)d\mu

La primera y segunda formas del teorema pasan entre sí cuando , o . Sin embargo, la segunda forma permite la siguiente extensión a la integración de series funcionales, no necesariamente de signo constante: $f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}\varphi_{k}(x)$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} (x) = f_ {n} (x) -f_ {n-1} (x)}$

Teorema de Levi (sobre integración término a término de series funcionales). Sean funciones integrables en . Si la serie converge ${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} \ en L_ {1} (X, \ mu)}$ $X$

\sum _{k=1}^{\infty}\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty

después

la serie converge absolutamente en casi todas partes a un valor finito; $\sum _{{k=1}}^{\infty}\varphi _{k}(x)$
la suma de la serie es una función integrable; $\sum _{{k=1}}^{\infty}\varphi _{k}(x)$
la sucesión de sumas parciales de una serie converge a su suma en la norma espacial ; $L_{1}(X,\mu )$
Es admisible la integración término a término de la serie funcional:

\int \sum_{k=1}^{\infty}\varphi_{k}(x)d\mu =\sum_{k=1}^{\infty}\int \varphi_{ k}(x)d\mu

Para obtener el teorema de Lévy en esta forma, se debe aplicar el teorema de convergencia mayor de Lebesgue, ya que las sumas parciales de la serie admiten una mayorante integrable :

\left|\sum_{k=1}^{n}\varphi_{k}(x)\right|\leqslant \sum_{k=1}^{\infty}|\varphi_{ k}(x)|=\varphi(x)

Formulación a partir de la teoría de la probabilidad

Dado que la expectativa matemática de una variable aleatoria se define como su integral de Lebesgue sobre el espacio de resultados elementales , el teorema anterior se transfiere a la teoría de la probabilidad . Sea una secuencia monótona de a.s no negativas. variables aleatorias integrables. Después $\Omega$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$

{\mathbb {E}}\left[\lim \limits _{{{n\to \infty }}X_{n}\right]=\lim \limits_{{n\to \infty }}{\mathbb { E}}X_{n}

Véase también

Notas

↑ Es decir, da una condición bajo la cual la convergencia y la igualdad de integrales se siguen de la convergencia de la secuencia funcional al límite sumable . $f_{n}(x)\flecha derecha f(x)$ $\lim _{{n\to \infty }}\int f_{n}(x)dx=\int f(x)dx$

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S.V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág.
Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.
Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - 2do. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 pág.