Teorema de Rellich

En análisis matemático y cálculo diferencial, el teorema de Rellich es un teorema sobre soluciones enteras de una ecuación diferencial , demostrado en 1940 por Franz Rellich .

Redacción

Dejar en la ecuación diferencial

{\ estilo de visualización {\ punto {x}} = f (x, t)}

el lado derecho es una serie de potencias convergentes en todas partes ( una función completa ). Si hay dos soluciones y , que son funciones enteras , entonces cualquier otra solución entera tiene la forma ${\ estilo de visualización x, t}$ ${\ estilo de visualización x = u (t)}$ ${\ estilo de visualización x = v (t)}$ $t$ ${\ estilo de visualización x = w (t)}$

w(t)=u(t)+(v(t)-u(t))c

con una constante elegida correctamente . Si no es una función lineal , entonces hay como máximo un número contable de constantes para las cuales la expresión $C$ $f(x,t)$ $X$ $c_n$

{\displaystyle u(t)+(v(t)-u(t))c_{n))

es una solución y el conjunto no puede tener un punto límite final . $c_n$

La última afirmación es reversible: siempre existe una ecuación diferencial no lineal con un lado derecho entero que tiene una serie infinita de soluciones enteras para cualquier dado , no iguales entre sí para cualquier valor de y cualquier conjunto de números ( teniendo un punto límite sólo en el infinito). ${\displaystyle u(t)+(v(t)-u(t))c_{n))$ ${\ estilo de visualización u (t), v (t)}$ $t$ $c_n$

Consecuencias

Una consecuencia del teorema de Rellich es que la solución general de una ecuación no lineal con un lado derecho entero no puede ser una función completa de t , mientras que cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes enteros siempre tiene una solución general entera. ${\ estilo de visualización x = x (t, C)}$ ${\ estilo de visualización {\ punto {x}} = f (x, t)}$

Enlaces

Rellich, el P. Ueber die ganzen Loesungen einer gewoehnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (alemán) // Matemáticas. Ana. . - 1940. - T. 117 . - S. 587-589 .
Wittich G. Capítulo V. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales ordinarias // Investigaciones recientes sobre funciones analíticas de valor único . - M. : Fizmatlit, 1960. - S. 114.