Teorema de Sokhotsky-Plemelya

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El teorema de Sochocki-Plemelja (en polaco, Sochocki ) es un teorema de análisis complejo que ayuda a evaluar integrales definidas. La versión de línea real ( ver más abajo ) se usa a menudo en física, aunque rara vez se la menciona por su nombre. El teorema lleva el nombre de Julian Sochocki , quien lo demostró en 1868, y Josip Plemelj , quien lo redescubrió como el ingrediente principal en su solución al problema de Riemann-Hilbert en 1908.

Enunciado del teorema

Sea C una curva simple cerrada suave en el plano y φ una función analítica en C . Entonces la integral de tipo Cauchy

{\frac {1}{2\pi i))\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta)d\zeta }{\zeta -z)),

define dos funciones analíticas de z , φ i dentro de C y φ e fuera. Las fórmulas de Sokhotsky-Plemelj relacionan los valores límite de estas dos funciones analíticas en el punto z de C y el valor principal de Cauchy de la integral: ${\ matemáticas {P}}$

\phi _{i}(z)={\frac {1}{2\pi i)){\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d \zeta }{\zeta -z))+{\frac {1}{2))\varphi (z),

\phi _{e}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int_{C}{\frac {\varphi (\zeta)d \zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).

Las generalizaciones posteriores eliminan los requisitos de suavidad en la curva C y la función φ .

Versión de línea real

La versión de este teorema para integrales en la línea real es especialmente importante.

Sea f una función de valores complejos definida y continua en el eje real, y sean a y b números reales tales que a < 0 < b . Después

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

donde denota el valor principal de Cauchy. ${\ matemáticas {P}}$

Prueba de la línea real

Una demostración sencilla es la siguiente.

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2 })}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2 }+\varepsilon^{2}}}\,{\frac{f(x)}{x}}\,dx.

Para el primer término, tenga en cuenta que es la función delta naciente y, por lo tanto, se acerca a la función delta de Dirac en el límite. Por lo tanto, el primer término es igual a . ${\tfrac {\varepsilon}{\pi (x^{2}+\varepsilon^{2})))$ ${\ estilo de visualización \ mp i \ pi f (0)}$

Para el segundo término, notamos que el factor tiende a 1 para | x | ≫ ε , y tiende a 0 cuando | x | ≪ ε, es decir, una función simétrica con respecto a 0. Por lo tanto, en el límite, se obtiene una integral en el sentido del valor principal de Cauchy. ${\tfrac{x^{2}}{x^{2}+\varepsilon^{2}}}$

Aplicaciones a la física

En mecánica cuántica y teoría cuántica de campos , a menudo hay que evaluar integrales de la forma

\int _{-\infty}^{\infty}dE\,\int _{0}^{\infty}dt\,f(E)\exp(-iEt),

donde E es algo de energía y t es el tiempo. De esta forma, la expresión no está definida (porque la integral de tiempo no converge), por lo que generalmente se modifica agregando un coeficiente real negativo a t en el exponente y luego empujando este coeficiente a cero:

\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{-\infty}^{\infty}dE\,\int_{0}^{\infty}dt\,f(E )\exp(-iEt-\varepsilon t)

=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{Ei\varepsilon }}\, dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,

donde se utiliza el teorema de Sochocki en el último paso.

Véase también

Operadores integrales singulares en curvas cerradas
Relaciones Kramers-Kronig
Hilbert transforma

Literatura

Weinberg, Steven . La teoría cuántica de campos, Volumen 1 :Fundamentos . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1995. - ISBN 0-521-55001-7 . Capítulo 3.1.
Merzbacher, Eugenio. Mecánica Cuántica (neopr.) . - Wiley, John & Sons, Inc., 1998. - ISBN 0-471-88702-1 . Apéndice A, ecuación (A.19).
Henrici, Pedro. Análisis complejo computacional y aplicado, vol. 3 (inglés) . — Willey, John & Sons, Inc., 1986.
Plemelj, Josip. Problemas en el sentido de Riemann y Klein . — Nueva York: Interscience Publishers , 1964.
Gakhov, F.D. (1990), Problemas de valor límite. Reimpresión de la traducción de 1966 , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-66275-6
Muskhelishvili, NI Ecuaciones integrales singulares, problemas de contorno de la teoría de funciones y su aplicación a la física matemática (inglés) . Melbourne: Departamento de Abastecimiento y Desarrollo, Laboratorios de Investigaciones Aeronáuticas, 1949.
Blanchard, Bruening: Métodos matemáticos en física (Birkhauser 2003), Ejemplo 3.3.1 4
Sokhotskii, YW Sobre integrales definidas y funciones utilizadas en expansiones en serie (inglés) . -S t. Petersburgo, 1873.