Teorema de Hopf-Rinow

El teorema de Hopf-Rinow es un teorema de geometría diferencial , probado por Heinz Hopf y su alumno Willy Rinov . Publicado por última vez en 1931 [1] .

Redacción

Para una variedad de Riemann conectada por caminos , las siguientes declaraciones son equivalentes: $METRO$

$METRO$ es completa (es decir, la variedad de Riemann es completa como un espacio métrico );
para cada punto , el mapeo exponencial se define en todo (dónde está el espacio tangente en el punto ); $p\en M$ ${\ estilo de visualización \ exp _ {p}: T_ {p} \ a M}$ $T_{p}$ $T_{p}$ $METRO$ $pags$
todo conjunto acotado y cerrado es compacto . $METRO$

Dos puntos cualesquiera y en una variedad de Riemann completa conectada linealmente pueden estar conectados por una longitud geodésica igual a la distancia entre y ; $pags$ $q$ $pags$ $q$
Cualquier geodésica en una variedad de Riemann completa conectada por caminos puede extenderse indefinidamente.

El teorema de Hopf-Rinow es cierto para espacios con métrica intrínseca , no necesariamente riemanniana (por ejemplo, Finsler ) [2] : si es un espacio métrico completo localmente compacto con métrica intrínseca , entonces cualquier conjunto acotado cerrado es compacto. En particular, dos puntos cualesquiera en el espacio pueden estar conectados por un camino más corto. [3] $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ $X$
- Esta afirmación se ha generalizado al caso de métricas no simétricas. [cuatro]

El teorema de Hopf-Rinow no es cierto en el caso de dimensión infinita [5] , así como en el caso de variedades pseudo-Riemannianas [6] .

↑ Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentgeometrischen Fläche (alemán) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. - 1931. - Bd. 3 , nº. 1 . - S. 209-225 . -doi : 10.1007/ BF01601813 .
↑ Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik". Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
↑ Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Curso de geometría métrica. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 . teorema 2.5.28.
↑ Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz Kurzester Wege". Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; traducido en Cohn-Vossen, S. E. "Sobre la existencia de los caminos más cortos". Algunas cuestiones de geometría diferencial en general. Moscú: Fizmatgiz (1959): 288-303.
↑ Atkin, CJ (1975), El teorema de Hopf-Rinow es falso en dimensiones infinitas , The Bulletin of the London Mathematical Society Vol. 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , < http: //blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf > .
↑ O'Neill, Barrett (1983), Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad , vol. 103, Matemáticas puras y aplicadas, Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570 , < https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193 > Archivado el 14 de mayo de 2021 en Wayback Machine .

Gromol D., Klingenberg W., Meyer W., Geometría riemanniana en general , trad. del alemán., M., 1971;
Cohn-Vossen, Algunos problemas de geometría diferencial en general , Moscú, 1959.
V. A. Sharafutdinov. Conferencias. Capítulo 5: Variedades de Riemann