Teorema de la propiedad de Darboux para una función continua

El teorema de la propiedad de Darboux (propiedad D) para una función continua en análisis matemático establece que la imagen continua de un segmento es un segmento.

Redacción

Sea una función continua de valores reales dada en un intervalo , entonces existen tales que

Notas

• Si la función es constante, entonces
• El teorema de la propiedad de Darboux establece que un mapa continuo mapea cualquier segmento a un segmento. Esta propiedad de una función se llama propiedad de Darboux. La declaración inversa no es cierta en general. Considere, por ejemplo, la función dada por la fórmula

• El teorema de Sierpinski . Cualquier función puede ser representada por la suma de dos funciones con la propiedad de Darboux.

La propiedad de Darboux para funciones monótonas

Deje que la función aumente o disminuya monótonamente en todo el intervalo. Entonces tiene la propiedad de Darboux si y solo si es continua.

Generalización

La propiedad de Darboux se cumple no solo para funciones continuas, sino también para cualquier función que sea derivada de otra función. Estos últimos incluyen funciones continuas. Sea  - diferenciable dentro del dominio de definición, es decir, y también diferenciable por la derecha en el punto : y por la izquierda en el punto : Entonces es un segmento, un rayo cerrado o toda la línea (es decir, cerrada y conexa ).

Véase también

• Un espacio conectado por caminos ;
• teorema de Bolzano-Cauchy ;
• el teorema de Weierstrass sobre una función continua en un compacto ;
• Lema Fermat .