Teorema de comparación de Toponogov

El teorema de comparación de Toponogov es un teorema clásico de la geometría de Riemann en general.

En el caso bidimensional, el teorema fue demostrado por Paolo Pizzetti [1] . Su obra pasó desapercibida durante un siglo. [2] El teorema fue reprobado de forma independiente por Aleksandr Danilovich Aleksandrov [3] y generalizado por Viktor Andreevich Toponogov [4] a dimensiones superiores.

Definiciones requeridas

Para formular el teorema, necesitamos un par de definiciones. Sea una variedad de Riemann completa de al menos 2 dimensiones y con una curvatura de sección no menor que alguna constante . $METRO$ $\kappa$

Indicar por el plano de curvatura del modelo . En , este es el plano euclidiano, en , es isométrico a la superficie de una esfera de radio , y en , es el plano de curvatura de Lobachevsky . ${\mathbb {M}}_{\kappa}$ $\kappa$ $\kappa=0$ $\kappa >0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa}$ ${\tfrac 1{{\sqrt {\kappa ))))$ $\kappa<0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa}$ $\kappa$

Un triángulo en es un triple de caminos más cortos que conectan tres puntos en pares. En este caso, cada uno de los tres puntos se llama vértice del triángulo, y el ángulo entre el par de puntos más cortos que salen del vértice se llama ángulo en este vértice. $METRO$

Sea un triángulo en . Supongamos que existe un triángulo con lados correspondientes iguales y, además, dicho triángulo es único hasta la congruencia. En este caso, el triángulo se llama triángulo modelo del triángulo en . $\triángulo$ $METRO$ ${\mathbb {M}}_{\kappa}$ ${\ tilde \ triángulo }_{\ kappa }$ ${\ tilde \ triángulo }_{\ kappa }$ ${\ tilde \ triángulo }_{\ kappa }$ $\triángulo$ $METRO$

Tenga en cuenta que el triángulo modelo siempre se define si . En caso de que esto sea cierto si el perímetro es estrictamente menor que . ${\ tilde \ triángulo }_{\ kappa }$ $\kappa \leq 0$ $\kappa >0$ $\triángulo$ $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa ))$

Sea un triángulo modelo en . Definamos el ángulo del modelo como una medida angular . $\triángulo {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$ ${\mathbb {M}}_{\kappa}$ $\triángulo xyz$ $METRO$ ${\tilde \ángulo medido}_{\kappa}xyz$ $\measuredangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$

Redacción

Teorema. Sea una variedad riemanniana completa y con curvatura de sección no menor que alguna constante . Entonces los ángulos de cualquier triángulo en M no son menores que los ángulos correspondientes de su triángulo modelo . En otras palabras $METRO$ $\kappa$ $\triángulo$ ${\ tilde \ triángulo }_{\ kappa }$

{\ tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz\leq \measuredangle xyz

para cualquier triangulo . $\triángulo xyz$

Consecuencias

Supongamos que es una variedad de Riemann completa con curvatura de sección no negativa. Entonces, para cualquier punto , la función es 2-cóncava; es decir, para cualquier geodésica normal , la función es cóncava. $METRO$ $p\en M$ $f(x)=|px|_{M}^{2}$ $\gama$ $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$

Variaciones y generalizaciones

El teorema inverso también es cierto, es decir, si la comparación de ángulos es cierta para cualquier triángulo en una variedad de Riemann, entonces tiene una curvatura de al menos . $METRO$ $METRO$ $\kappa$

Para cada punto x en el lado del triángulo , denota por el punto correspondiente en el lado . Entonces la afirmación del teorema es equivalente a la siguiente desigualdad $\triángulo$ ${\ tilde x}$ ${\ tilde \ triángulo } \ kappa$ $|{\tilde x}-{\tilde y}|_{({\mathbb M}_{\kappa ))}\leq |xy|_{M}$

donde denota la distancia entre puntos y en una variedad de Riemann .

|xy|_{M}

X

y

METRO

La afirmación del teorema es equivalente a la siguiente desigualdad ${\ tilde \measuredangle }_{\kappa }xpy+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }ypz+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }zpx\leq 2\cdot \pi$

por cuatro puntos arbitrarios

p,x,y,z\en M

Véase también

Teorema de comparación de Rauch

Literatura

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Geometría riemanniana en general, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducción a la geometría de Riemann. - San Petersburgo: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .

Enlaces

↑ Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16(1), 1907, 6–11.
↑ Pambuccian, Víctor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: el creador olvidado de la geometría de comparación de triángulos. Historia Matemática. 38 (2011), núm. 3, 415-422.
↑ AD Aleksandrov, Geometría interna de superficies convexas, Moscú-Leningrado, Gostekhizdat, 1948.
↑ V. A. Toponogov, Espacios riemannianos de curvatura delimitados desde abajo Uspekhi Mat. Nauk, 14:1(85) (1959), 87–130