Identidad jacobi
La identidad de Jacobi es una identidad matemática para una operación bilineal en un espacio lineal . Tiene la siguiente forma:
![{\displaystyle [\cdot,\cdot]\dos puntos V\times V\rightarrow V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4446c9272ec2703bfe4bbd3ba41c037963e7e4)
![{\displaystyle \forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8920707b85494eb03da6871bec5571cff6735)
El nombre de Carl Gustav Jacobi .
La noción de la identidad de Jacobi se asocia comúnmente con las álgebras de Lie .
Ejemplos
Las siguientes operaciones satisfacen la identidad de Jacobi:
- Interruptor de operador
- conmutador en álgebra de Lie
- Corchetes de mentira de campos vectoriales
- Corchetes de Poisson de funciones en una variedad simpléctica
- producto cruz de vectores
Significado en álgebras de Lie
Si la multiplicación es anticonmutativa , entonces se puede dar a la identidad de Jacobi una forma ligeramente diferente usando la representación adjunta del álgebra de Lie :
![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle \mathrm {anuncio} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a83dfae0bc4af7168c95b97f8a08b393240b15)
Escribiendo la identidad de Jacobi en la forma
![{\ estilo de visualización [x, [y, z]] = [y, [x, z]] + [[x, y], z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d62c71fd1a76785dae82442e4ef59d942e21d)
obtenemos que es equivalente a la condición de cumplimiento de la regla de Leibniz para el operador :
![{\displaystyle \mathrm {anuncio} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {anuncio} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {anuncio} _{x}\ ,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199849564813f5f6c0799e3e713c96f0e8a91fbc)
Por lo tanto, es una derivación en el álgebra de Lie. Cualquier derivación de este tipo se llama intrínseca .
La identidad de Jacobi también se puede dar de la forma
![{\displaystyle \mathrm {anuncio} _{[x,y]}=[\mathrm {anuncio} _{x},\mathrm {anuncio} _{y}]=\mathrm {anuncio} _{x}\mathrm {anuncio} _ {y}-\mathrm {anuncio} _ {y}\mathrm {anuncio} _ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9745ac751109b24010afa01d69a8ca5d2e467a09)
Esto significa que el operador define un homomorfismo de un álgebra de Lie dada en el álgebra de Lie de sus derivaciones.
Identidad calificada de Jacobi
Sea un álgebra graduada y sea una multiplicación en ella. Decimos que la multiplicación en satisface la identidad graduada de Jacobi si para cualquier elemento
![{\displaystyle [\omega_{m},[\omega_{k},\omega_{l}]=[[\omega_{m},\omega_{k}],\omega_{l} ]+(-1)^{mk}[\omega_{k},[\omega_{m},\omega_{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a325f6e7ec5c033017c3b8c8716d1cb922e9151b)
Ejemplos
- álgebra de formas externas ;
- álgebra de derivaciones de formas diferenciales ;
- álgebra de formas tangencialmente valoradas con multiplicación dada por corchetes FN o corchetes NR ;