Estimación de puntos

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Una estimación puntual en estadística matemática es un número estimado a partir de observaciones que supuestamente está cerca del parámetro que se estima.

Definición

Sea una muestra aleatoria para una distribución en función del parámetro . Entonces el estadístico que toma valores en se denomina estimación puntual del parámetro . $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\theta \en \theta$ ${\sombrero {\theta}}(X_{1},\ldots,X_{n})$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de pantalla \ Theta}$ $\ theta$

Nota

Formalmente, las estadísticas pueden no tener nada que ver con el valor del parámetro que nos interesa . Su utilidad para obtener estimaciones prácticamente aceptables radica en las propiedades adicionales que tiene o no. ${\ sombrero {\ theta))$ $\ theta$

Propiedades de las estimaciones puntuales

Una estimación se llama insesgada si su expectativa matemática es igual al parámetro estimado de la población general : ${\sombrero {\theta }}={\sombrero {\theta }}(X)$

\mathbb {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

, donde denota la expectativa matemática bajo el supuesto de que es el valor verdadero del parámetro (distribución de la muestra ).

{\ estilo de visualización \ mathbb {E} _ {\ theta}}

\ theta

X

Se dice que una estimación es eficiente si tiene la varianza mínima entre todas las posibles estimaciones puntuales no sesgadas. ${\ sombrero {\ theta))$
Se dice que una estimación es consistente si, con un aumento en el tamaño de la muestra n, tiende en probabilidad al parámetro poblacional : ${\sombrero {\theta }}_{n}={\sombrero {\theta }}_{n}(X_{1},\puntos,X_{n})$ ${\ estilo de visualización \ para todos \ theta \ en \ Theta}$

{\sombrero {\theta}}_{n}\a \theta

en probabilidad en .

n\to\infty

Se dice que una estimación es fuertemente consistente si , ${\sombrero {\theta}}_{n}$ ${\ estilo de visualización \ para todos \ theta \ en \ Theta}$

{\sombrero {\theta}}_{n}\a \theta

casi seguro en .

n\to\infty

Cabe señalar que no es posible probar la convergencia "casi probablemente" experimentalmente, por lo tanto, desde el punto de vista de la estadística aplicada, tiene sentido hablar solo de convergencia en probabilidad.

Véase también

Estimación de intervalo

Literatura

Wentzel E. S. Teoría de la probabilidad. - M. : Nauka, 1969. - 576 p.