Punto miquel

El punto de Miquel es uno de los puntos destacables del cuadrilátero .

Definición

Sean dispuestas cuatro líneas de tal manera ( en posición general ) que cuando se cortan se forman cuatro triángulos. Entonces las circunferencias circunscritas a estos triángulos tienen un punto común, que se llama punto de Miquel de esta configuración de rectas.

Nota

El enunciado de que estos cuatro círculos se intersecan en un punto se denomina teorema del cuadrilátero de Michel-Steiner [1] .

Propiedades

Los centros de los círculos circunscritos de los cuatro triángulos anteriores (puntos azules en la figura) se encuentran en el mismo círculo (rojo) que pasa por el punto Miquel (verde en la figura anterior).
Un cuadrilátero formado por cuatro rectas dadas , , y , se inscribe si y sólo si el punto de Miquel se encuentra en la recta que une dos de los seis puntos de intersección de las rectas (los que no son vértices del cuadrilátero), es decir, cuando se encuentra en . $A B C D$ $SER$ ${\ estilo de visualización BF}$ $CE$ ${\ estilo de visualización AF}$ $METRO$ $FE$

Historia

Este resultado fue anunciado por Jakob Steiner [2] . Una prueba completa la dio Miquel [1] .

Variaciones y generalizaciones

Teorema de Miquel para un pentágono (para una estrella de cinco puntas)

Sea dado un pentágono convexo . Continuemos todos sus cinco lados hasta que se corten en cinco puntos , , , , (formando una estrella de cinco puntas). Describimos cinco círculos alrededor de cinco triángulos , , y . Luego sus otros puntos de intersección mutua (excepto , , , , ), a saber, los nuevos puntos: , , , y se encuentran en el mismo círculo (pertenecen al mismo círculo) [3] (ver Fig.). El inverso se conoce como el teorema de los cinco círculos . $A B C D E$ $F$ $GRAMO$ $H$ $yo$ $k$ ${\ Displaystyle CFD}$ $GED$ $EHA$ ${\ Displaystyle AIB}$ $BKC$ $A$ $B$ $C$ $D$ $mi$ $METRO$ $norte$ $PAGS$ $R$ $q$

Teorema de las seis circunferencias de Miquel

Sean dados cuatro puntos , , y , en un círculo , y cuatro círculos se cortan en pares en estos puntos, así como en otros cuatro puntos , , y . Luego, los últimos cuatro puntos también se encuentran en un círculo común. Este teorema se conoce como el “teorema de los seis círculos” [4] (ver figura). $A$ $B$ $C$ $D$ $W$ $X$ $Y$ $Z$

Este teorema a veces se denomina el teorema de los cuatro círculos y se atribuye a Jakob Steiner, aunque la única prueba publicada conocida fue dada por Miquel [5] .

Wells se refiere a este teorema como "teorema de Miquel" [6] .

Un análogo tridimensional del teorema de Miquel

También hay un análogo tridimensional en el que cuatro esferas que pasan por puntos del tetraedro y puntos en los bordes del tetraedro se cruzan en un punto común . Wells, al referirse a Miquel, se refiere a este teorema como teorema de Pivot . [7] $METRO$

Véase también

Punto Poncelet
Teorema de Miquel - otro resultado del teorema de Miquel
Ober Directo

Notas

↑ 1 2 Ostermann y Wanner (2012) , pág. 96.
↑ Steiner, J. (1827/1828), Preguntas propuestas. Théorème sur le quadrilatère complet, Annales de math. T. 18: 302–304
↑ Una profesora de secundaria en la campiña francesa (Nantua) según Ostermann & Wanner 2012 . - Ostermann & Wanner, 2012. - Pág. 94-97.
↑ Una profesora de secundaria en la campiña francesa (Nantua) según Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — Pág. 94.
↑ Una profesora de secundaria en la campiña francesa (Nantua) según Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — Pág. 352.
↑ Wells, David. El Diccionario Pingüino de Geometría Curiosa e Interesante . - Nueva York: Penguin Books, 1991. - P. 151-152 .
↑ Wells, David. El Diccionario Pingüino de Geometría Curiosa e Interesante . - Nueva York: Penguin Books, 1991. - Pág . 184 .

Literatura

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. L. Nuevos encuentros con la geometría . — M .: Nauka, 1978. — 224 p. - (Número 14 de la serie " Biblioteca del Círculo Matemático "). - 148.000 ejemplares.

Forder, HG (1960), Geometría , Londres: Hutchinson

Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometría por su historia , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3

Pedoe, Dan (1988), Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 0-486-65812-0

Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Nueva York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6