Puntos notables del triángulo.

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Los puntos notables de un triángulo son puntos cuya ubicación está determinada únicamente por el triángulo y no depende del orden en que se toman los lados y los vértices del triángulo.

Por lo general, se encuentran dentro del triángulo, pero esto no es necesario. En particular, el punto de intersección de las alturas puede estar fuera del triángulo. Para otros puntos de triángulos notables, consulte la Enciclopedia de los centros de triángulos .

Ejemplos

Los puntos notables del triángulo son

Puntos de intersección:
- mediana - baricentro , centro de gravedad (masa) ;
- bisectriz - incentro o centro de la circunferencia inscrita ;
- antibisector - el centro de antibisectores;
- la bisectriz de los ángulos exteriores es el centro de la excircunferencia ;
- alturas - ortocentro ;
- midperpendiculars - el centro del círculo circunscrito ;
- punto simediano - Lemoine ;
- la bisectriz del triángulo medio (su incentro) - Centro Spieker ;
- los foques triangulares también son Spieker's Center;
- tres (o incluso dos) círculos, construidos, como en un diámetro, en un segmento que conecta las bases de las bisectrices interna y externa, soltadas de una esquina: dos puntas de Apolonio ;
- segmentos que conectan los vértices del triángulo:
  - con puntos de contacto de lados opuestos y el círculo inscrito - punto de Gergonne ;
  - con puntos de contacto de lados opuestos y excircunferencias - punto de Nagel ;
  - con los vértices libres correspondientes de triángulos equiláteros construidos en los lados del triángulo (hacia afuera) - el primer punto de Torricelli ;
  - con los vértices libres correspondientes de triángulos regulares construidos dentro del triángulo - el segundo punto de Torricelli ;
  - con los correspondientes vértices libres de triángulos similares al triángulo original y construidos sobre sus lados - puntas de Brokar ;

Puntos minimax de un triángulo

Los puntos minimax (extremos) de un triángulo son puntos en los que se alcanza el mínimo de una determinada función, por ejemplo, la suma de grados de distancias a los lados o vértices del triángulo [1] .

Los puntos minimax del triángulo son:

El punto de intersección de tres medianas , que tiene la menor suma de distancias al cuadrado a los vértices de un triángulo ( teorema de Leibniz ).
El punto de intersección de las tres medianas del triángulo es el único punto del triángulo tal que las tres cevianas trazadas a través de él dividen los lados del triángulo en seis segmentos con sus extremos. En este caso, el producto de las longitudes de tres de estos seis segmentos que no tienen extremos comunes es máximo [2]
Punto Torricelli (primero) que tiene la suma más pequeña de distancias a los vértices de un triángulo con ángulos no mayores que . $120^{\círculo}$
el punto de Lemoine , que tiene la suma más pequeña de las distancias al cuadrado a los lados del triángulo.
Las bases de las alturas de un triángulo acutángulo forman un ortotriángulo que tiene el perímetro más pequeño de todos los triángulos inscritos en el triángulo dado.

Iso-puntos e iso-líneas de triángulos

Los isopuntos son puntos de un triángulo que dan parámetros iguales a los de tres triángulos, que se forman cuando un isopunto está conectado por segmentos con tres vértices triangulares [3] . Como resultado, se forma una figura tipo “ ojo de dragón ” (ver fig.)

Los iso-puntos de un triángulo que forman la forma de un ojo de dragón

Los isopuntos de este tipo de triángulo son:

ortocentro (da tres triángulos con tres radios iguales de tres círculos circunscritos),
punto de intersección de medianas (da tres triángulos con tres áreas iguales)
incentro (da tres triángulos con tres alturas iguales)
centro del círculo circunscrito (da tres triángulos isósceles con tres pares de lados iguales),
punto de perímetros iguales o punto isoperimétrico (da tres triángulos con tres perímetros iguales [4] ), $PAGS$
El punto de Torricelli (primero) (da tres triángulos con tres ángulos obtusos iguales en ). $120^{\círculo}$
Dividir el punto de un triángulo en tres triángulos con tres radios idénticos de círculos inscritos
El centro de Spieker de un triángulo es el centro radical de sus tres excírculos [5] (tiene tres pares de tangentes iguales a tres excírculos a la vez).

Los iso-puntos de un triángulo que forman una forma de " Trébol (nudo) "

Los iso-puntos de un triángulo de este tipo son (ver Fig.):

El centro de Spieker es el punto de intersección de las líneas , y , donde , y similares, isósceles e idénticamente ubicadas, construidas en los lados exteriores del triángulo , que tiene el mismo ángulo en la base [6] . $S$ ${\ estilo de visualización AX}$ ${\ estilo de visualización POR}$ ${\ estilo de visualización CZ}$ ${\ estilo de visualización XBC}$ ${\ Displaystyle YCA}$ ${\ estilo de visualización ZAB}$ $A B C$ $\nombre del operador {arctg} [\nombre del operador {tg} (A/2)\nombre del operador {tg} (B/2)\nombre del operador {tg} (C/2)]$
El primer punto de Napoleón , como el centro de Spieker , es el punto de intersección de las líneas , y , donde , y similar, isósceles e idénticamente ubicado, construido en los lados del triángulo desde el exterior, que tiene el mismo ángulo en la base . $N_1$ ${\ estilo de visualización AX}$ ${\ estilo de visualización POR}$ ${\ estilo de visualización CZ}$ ${\ estilo de visualización XBC}$ ${\ Displaystyle YCA}$ ${\ estilo de visualización ZAB}$ $A B C$ $30^{\círculo}$
Aquí sería necesario enumerar todos los puntos que se encuentran en la hipérbola de Kiepert .

Los iso-puntos de un triángulo que forman una forma de flor tradescantia

Los iso-puntos del triángulo que forman una figura del tipo Flor de Tradescantia (ver Fig.) son los siguientes:

el punto de intersección de las medianas forma tres cuadriláteros de áreas iguales por tres pequeños segmentos de las cevianas.
el punto de intersección de las bisectrices forma tres cuadriláteros con tres perpendiculares a los tres lados del triángulo - un deltoides con dos lados adyacentes idénticos para todos. El otro par de lados adyacentes iguales es generalmente diferente para todos. Los tres deltoides tienen un par de ángulos opuestos iguales en . Son cuadriláteros inscritos-circunscritos. $90^{\círculo}$
Tres círculos dibujados dentro del triángulo a través del punto Mikel intersecan los lados del triángulo en tres puntos. Tres cuerdas trazadas por el punto de Miquel y tres puntos de intersección de tres circunferencias con tres lados diferentes del triángulo forman ángulos iguales con los lados.

Iso-puntos de un triángulo, formando un signo como " Modelo de la superficie de un triángulo curvo " (ver figura)

Estos puntos incluyen:

Puntos del círculo de Euler
Puntos en el teorema de Thomsen
Puntos en el teorema de Tooker . Si en la fig. al teorema de Thomsen a la derecha debajo, dibuje una línea discontinua similar de 6 enlaces, alternando sucesivamente segmentos paralelos, antiparalelos, paralelos, nuevamente antiparalelos, nuevamente paralelos al lado opuesto de la corriente, etc., luego el último sexto segmento volverá al inicio punto, como en el teorema de Thomsen, y la polilínea se cerrará. El teorema de Tucker establece que en este caso 6 puntos de la polilínea que se encuentran en los lados del triángulo estarán en el círculo de Tucker [7] [8]

Iso-puntos de un triángulo formando un signo como " Peligro". Sustancias radiactivas o radiación ionizante » (ver fig.)

Los isopuntos de este tipo de triángulo son:

Punto de Lemoine (punto de antiparalelos iguales) - un punto con la propiedad: tres antiparalelos dibujados a través de él (líneas antiparalelas a tres lados de un triángulo) dan tres segmentos de igual longitud dentro del triángulo.
punto de paralelas iguales (Equal Parallelians Point) [9] . En cierto sentido, es similar al punto de Lemoine . Un punto tiene la propiedad de que tres paralelas trazadas a través de él (líneas paralelas a tres lados de un triángulo) dan tres segmentos de igual longitud dentro del triángulo.
Yff Centro de Congruencia [10]
el punto de intersección de las 3 antibisectores de un triángulo . Si a través de este punto dibujamos 3 líneas rectas paralelas a los lados del triángulo, cortarán 3 segmentos internos (medios) iguales en los lados del triángulo.
Otra formulación de la última afirmación: Los segmentos de los lados de un triángulo encerrados entre las líneas trazadas por el centro de las antibisectores paralelas a los tres lados son iguales entre sí.

Otros iso-puntos del triángulo formando cevianas generales

los puntos de Skutin son los puntos de cevianas iguales del triángulo. El teorema de Skutin establece que tres segmentos de línea o cevianos dibujados dentro de un triángulo a través de sus tres vértices y a través de cualquier foco de la elipse de Steiner descrita son iguales entre sí. Estos focos a menudo se denominan puntos de Skutin .

Iso-líneas rectas

Las iso-líneas ( iso-líneas ) de un triángulo son las líneas que cortan el triángulo dado en dos triángulos que tienen parámetros iguales [3] . Las isolíneas de un triángulo son:

La mediana de un triángulo biseca el lado opuesto y corta el triángulo en dos triángulos con áreas iguales.
La bisectriz ( Bisector ) de un triángulo biseca el ángulo de cuyo vértice sale.
La altura de un triángulo corta el lado opuesto (o su extensión) en un ángulo recto (es decir, forma dos ángulos iguales con el lado a cada lado) y corta el triángulo en dos triángulos con ángulos iguales (rectos).
La simedia es el lugar geométrico de los puntos dentro de un triángulo que se origina en un solo vértice y da dos segmentos iguales que son antiparalelos a dos lados que se cortan en ese vértice y están limitados por tres lados.
El brazo triangular biseca el perímetro . El foque de un triángulo es un segmento, un extremo del cual está en el medio de uno de los lados del triángulo, el otro extremo está en uno de los dos lados restantes. Además, el brazo es paralelo a una de las bisectrices del ángulo. Cada uno de los brazos pasa por el centro de masa del perímetro del triángulo ABC, de modo que los tres brazos se cruzan en el centro de Spieker .
También divide el perímetro por la mitad por un segmento que conecta el punto de contacto del lado del triángulo y la excircunferencia con el vértice opuesto al lado dado. Tres de estos segmentos de un triángulo, extraídos de sus tres vértices, se cortan en el punto de Nagel . En otras palabras, este segmento es la ceviana del punto de Nagel . ( Chevian of the Nagel point en la literatura inglesa a veces se llama splitter (divisor) o divisor en la mitad del perímetro . También se refieren al divisor como foque ).
Ecualizador (ecualizador) o ecualizador (alineador): un segmento de línea recta que corta un triángulo en dos figuras de áreas y perímetros simultáneamente iguales [11]
Un poco sobre el ecualizador (ecualizador). Cualquier línea recta ( igualadora ) que pasa por un triángulo y biseca el área y el perímetro del triángulo pasa por el centro del círculo inscrito. Puede haber tres, dos o una de esas líneas. [12]

Una nota sobre las iso-líneas de un triángulo

En la literatura inglesa se introduce el concepto de bisección , como la división de algo en dos partes iguales. Por ejemplo, un triángulo isósceles en dos iguales, un segmento de recta en dos iguales, un ángulo plano en dos iguales. Las líneas correspondientes serán un caso especial de iso-líneas rectas (iso-líneas) del triángulo.

Directo $norte$

Un caso particular importante de isolíneas son las llamadas líneas $norte$ de un triángulo. La línea recta de un triángulo, que parte de su vértice, divide el lado opuesto con relación a los -ésimos grados de los dos lados adyacentes a él [13] . Importantes casos especiales de líneas son: $norte$ $norte$ $norte$

mediana ( ), $n=0$
bisectriz (bisectriz) ( ), $n=1$
antibisectriz ( ), $n=-1$
simediana ( ), $n=2$
cubos directos ( ). $n=3$

Para triángulos rectos, es muy fácil encontrar algunas propiedades en términos generales. Por ejemplo, para una línea, la línea será isogonalmente conjugada y la línea será isotómicamente conjugada . $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización (2-n)}$ $-norte$

Nota

Las coordenadas baricéntricas del centro, escritas en términos de los lados (o funciones trigonométricas de los ángulos) de un triángulo, hacen posible traducir muchos problemas sobre los centros de un triángulo al lenguaje algebraico. Por ejemplo, para averiguar si dos definiciones definen el mismo centro o si tres centros dados se encuentran en la misma línea.

También puedes utilizar las coordenadas trilineales del centro, que se relacionan de forma muy sencilla con las coordenadas baricéntricas . Sin embargo, por ejemplo, los puntos isogonalmente conjugados en coordenadas trilineales se expresan de forma más sencilla.

Variaciones y generalizaciones

Se consideran pares de centros. Por ejemplo,
- puntas brocard ;
- Puntos de Apolonio . Para cualquier triángulo no degenerado , se puede construir un círculo de Apolonio en el lado que pasa por el punto . Los círculos construidos de esta manera en tres lados se intersecarán en dos puntos: el interior y el exterior de Apolonio, respectivamente. $A B C$ $AB$ $C$

Puntos recién descubiertos (centros) del triángulo

Yff Centro de Congruencia [14 ]
Perspector Gossard [ 15 ]
Punto medio ( inglés Mittenpunkt ) [16]
1° y 2 ° Puntos Ajima -Malfatti ( ing. 1° Y 2° Puntos Ajima-Malfatti ) [17]
Punto de Apolonio : no debe confundirse con los puntos de Apolonio [18]
Puntos Bailey [ 19 ]
Puntos Hofstadter [ 20 ]
Isoscelizer-congruent point ( Inglés. Congruent Isoscelizers Point ) [21]
1° y 2° puntos de Morley asociados con el triángulo de Morley ( ing. 1° Y 2° Centros de Morley ) [22]
Punto de parada [ 23 ]
Punto isoperimétrico y punto de igual desvío [ 24 ]
Punto de paralelos iguales [ 25 ]
Punto Schiffler [ 26 ] _
Punto de Exeter [27]
Punto de división de un triángulo en tres triángulos con tres radios idénticos de tres círculos inscritos [28]

Notas

↑ Starikov VN Estudios de geometría. // Colección de publicaciones de la revista científica Globus basada en los materiales de la V-ésima conferencia científico-práctica internacional "Logros y problemas de la ciencia moderna", San Petersburgo: una colección de artículos (nivel estándar, nivel académico). - San Petersburgo. , 2016. - S. 97 .
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores . - 2ª ed. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12, tarea. (Ruso)
↑ 1 2 Starikov V. N. Notas sobre geometría // Búsqueda científica: ciencias humanitarias y socioeconómicas: colección de artículos científicos. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - P. 37, columna izquierda, último párrafo . (Ruso)
↑ Punto isoperimétrico y punto de igual desvío . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2012.
↑ Odenhal, 2010 , pág. 35-40.
↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Zetel SI Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. pág. 92. párrafo 74.
↑ Myakishev A. G. Walking in circles: from Euler to Taylor // Archimedes: colección científica y metodológica. 2011. Edición. 7. pág. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
↑ Punto de paralelos iguales . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2012.
↑ Yff center of congruence// https://en.wikipedia.org/wiki/Yff_center_of_congruence Archivado el 22 de octubre de 2021 en Wayback Machine .
↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers , Mathematics Magazine volumen 83 (2): 141–146 , DOI 10.4169/002557010X482916 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Revista de Matemáticas. - 2010. - Edición. 83, abril . - S. 141-146. .
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores . - 2ª ed. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125, tarea, párrafos 109-113. (Ruso)
↑ Centro de congruencia Yff . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Perspector de Gossard . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Mittenpunkt . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 5 de agosto de 2015. (indefinido)
↑ 1º Y 2º PUNTOS AJIMA-MALFATTI . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 5 de agosto de 2015. (indefinido)
↑ Punto de Apolonio . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Punto Bailey . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2015. (indefinido)
↑ Puntos Hofstadter . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Punto de isoscelizadores congruentes . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Centros Morley . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2012. (indefinido)
↑ Punto de parada . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Punto isoperimétrico y punto de igual desvío . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Punto de paralelos iguales . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Punto de Schiffler . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 5 de agosto de 2015. (indefinido)
↑ Punto de Exeter . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Starikov V. N. Noveno estudio sobre geometría (§ Resolviendo el problema de un ceviano que divide 3-k en 2 3-k con los mismos círculos inscritos) // Revista electrónica científica revisada por pares de la Universidad Estatal Agraria de Moscú "Ciencia y Educación". 2020. No. 1. 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/view/1603

Literatura

Enciclopedia para niños. T. 11. Matemáticas / Capítulo. edición M. D. Aksyonova. — M.: Avanta+, 2001. — 688 p.: il.
A. G. MYAKISHEV Elementos de geometría triangular . — M. : MTsNMO, 2002.
Boris Odenhal. Algunos centros de triángulos asociados a las circunferencias tangentes a las excircunferencias // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .
Glosario de planimetría// https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8% D0 %B9_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8

Enlaces

Puntos notables del triángulo.
Enciclopedia de los centros triangulares Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine .
Enciclopedia de Centros de Triángulos

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex