Trilateración

La trilateración (del lat. trilaterus - tripartito) es un método para determinar la posición de los puntos geodésicos mediante la construcción de un sistema de triángulos adyacentes en el suelo, en el que se miden las longitudes de sus lados [1] . Es uno de los métodos para determinar coordenadas en el suelo junto con la triangulación (en la que se miden los ángulos de los triángulos correspondientes) y la poligometría (se miden tanto ángulos como distancias). La trilateración se basa en una muesca lineal .

Derivación matemática

Opción 1

En geometría, el problema de trilateración tridimensional consiste en encontrar las coordenadas del punto de intersección de tres esferas , que se determinan resolviendo un sistema de ecuaciones . Para simplificar los cálculos, asumimos que los centros de las tres esferas se encuentran en el plano , uno de ellos coincide con el origen de coordenadas , el segundo se encuentra en el eje . Las restricciones impuestas no reducen la generalidad: cualquier sistema de ecuaciones correspondientes puede reducirse a esta forma pasando a otro sistema de coordenadas . Para encontrar una solución en el sistema de coordenadas original, la solución encontrada en este sistema de coordenadas (reducido) se somete a transformaciones inversas a las que permitieron alinear el conjunto original de tres puntos con las restricciones. $z=0$ $X$

Comencemos con las ecuaciones para las tres esferas:

{\begin{casos}r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{2}^{2}=(xd)^ {2}+y^{2}+z^{2}\\r_{3}^{2}=(xi)^{2}+(yj)^{2}+z^{2}\\\ fin {casos}}

Necesita encontrar un punto que satisfaga las tres ecuaciones. $(x, y, z)$

Primero, resta la segunda ecuación de la primera y encuentra : $X$

x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}

Consideramos que las dos primeras esferas se cortan en más de un punto, es decir, . En este caso, sustituyendo la expresión en la ecuación de la primera esfera, obtenemos la ecuación del círculo , que es la intersección deseada de las dos primeras esferas: $d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}$ $X$

y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac{(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}) ^{2}}{4d^{2}}}

Sustituimos : en la ecuación de la tercera esfera y encontramos : $y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}$ $y$

y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(xi)^{2}+j^{2}}{2j}}={ \frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x

Conociendo las coordenadas y puedes encontrar fácilmente la coordenada : $X$ $y$ $z$

z=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Ahora tenemos las tres coordenadas. Debido a que se expresa como una raíz cuadrada positiva o negativa, un problema dado puede tener cero, una o dos soluciones. $z$

Esto se puede representar tomando el círculo obtenido de la intersección de las dos primeras esferas y encontrando su intersección con la tercera esfera. Si este círculo pasa fuera de la tercera esfera, la coordenada es igual a la raíz de un número negativo, lo que significa que no hay una solución real . Si el círculo toca la esfera exactamente en un punto, es igual a cero. Si el círculo corta a la esfera en dos puntos, es igual a la raíz positiva o negativa de un número positivo. $z$ $z$ $z$

Opción 2: sin transformación de coordenadas

Usando el hecho de que cada par de esferas se corta a lo largo de un círculo cuyo centro se encuentra en una línea recta que conecta los centros de las esferas, y el hecho de que este círculo se encuentra en un plano perpendicular a esta línea recta, podemos resolver el problema a través de un lineal sistema de ecuaciones

Sean los centros de las esferas originales, sean las distancias entre los centros de las esferas, y sea el punto deseado. $O_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),O_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),O_{3}(x_{3 },y_{3},z_{3})$ $d_{ij}$ $X(x,y,z)$

Encuentra - el centro de intersección de las dos primeras esferas. $O_{{12}}(x_{1}+\alfa (x_{2}-x_{1}),y_{1}+\alfa (y_{2}-y_{1}),z_{1}+ \alfa (z_{2}-z_{1}))$

|O_{1}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{1}^{2}

|O_{2}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{2}^{2}

Resta la segunda ecuación de la primera:

|O_{1}O_{{12}}|^{2}-|O_{2}O_{{12}}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2 }

. Transformemos:

\alpha ^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}-(1-\alpha )^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}=r_{1} ^{2}-r_{2}^{2}

\alpha ={\frac {1}{2}}+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}

El punto deseado se encuentra en un plano que pasa por y perpendicular a . Por lo tanto, la ecuación de este plano se cumple para él: $O_{{12}}$ $O_{1}O_{2}$

(x-(1-\alpha )x_{1}-{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+(y-(1-\alpha )y_{1}-{ \alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+(z-(1-\alpha )z_{1}-{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_ {1})=0

, o de otro modo:

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z=((1-\alpha )x_{1}+{ \alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+((1-\alpha )y_{1}+{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1 })+((1-\alfa )z_{1}+{\alfa }z_{2})(z_{2}-z_{1})

Después de la sustitución, obtenemos: $\alfa$

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac{1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}((x_{2}-x_{1}) ^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2}}

Igualmente,

(x_{3}-x_{1})x+(y_{3}-y_{1})y+(z_{3}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}}{2}}

La intersección de los dos planos obtenidos da una recta perpendicular al plano del triángulo. La intersección de esta línea con el plano del triángulo da un punto : la base de la perpendicular desde el punto hasta el plano del triángulo. Habiendo complementado el sistema con la ecuación del plano del triángulo, obtenemos un sistema lineal de ecuaciones para las coordenadas del punto . $O$ $X$ $O$

Ecuación del plano del triángulo:

((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x- x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1 }))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{ 3}-y_{1}))(z-z_{1})=0

dónde:

{\vec {n}}((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{ 1}),(z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}), (x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))

es el producto vectorial y .

\sobrelínea {O_{1}O_{2}}

\sobrelínea {O_{1}O_{3}}

Los coeficientes en las coordenadas del punto deseado forman una matriz de 3x3. Si los centros de las esferas originales no se encuentran en línea recta, entonces esta matriz no es degenerada y las coordenadas deseadas se encuentran después de aplicar la matriz inversa al lado derecho del sistema. Denote las coordenadas encontradas del punto . Después: $O$ $O(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{casos}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1 })(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_ {2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_ {1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}- |OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{casos}}

Desventajas

Primero

El control de las mediciones de distancia y las construcciones de redes de trilateración en sí mismas es demasiado débil, y en algunas configuraciones está completamente ausente, lo que es inaceptable en construcciones geodésicas precisas. Por ejemplo, en el 1er triángulo con lados medidos, el control de la medida está completamente ausente, ya que no surge una sola ecuación condicional, es decir, no hay medidas redundantes; en un cuadrilátero geodésico y un sistema central con lados medidos, surge solo una ecuación condicional, es decir, hay un número insuficiente de medidas redundantes [2] .

Segundo

Con una precisión comparable de las medidas angulares y lineales, la precisión de la transmisión de azimut en la trilateración es significativamente menor que en la triangulación. El control se realiza a través de Acimutes de Laplace, que permiten el control independiente y la ecualización de medidas angulares [2] [3] .

Tercero

En términos técnicos y económicos, el método de trilateración es significativamente inferior a la triangulación. El método es complejo tanto en el trabajo de campo como en los cálculos de oficina [2] .

Características

Clases/rangos	Longitud del lado, km	Error lateral (limitación del error relativo al determinar las longitudes de los lados)	Número de triángulos entre orígenes	Ángulo mínimo en un triángulo, arco. la licenciatura	Ángulo mínimo en un cuadrilátero, arco. la licenciatura
III clase
IV clase	1-5	1: 50.000	6	veinte	25
1 rango	0,5—6	1: 20,000	ocho	veinte	25
2ª categoría	0.25-3	1 : 10,000	diez	veinte	25

[cuatro]

Aplicación

La trilateración se puede utilizar para localizar rayos . Los detectores que operan en un sistema sincronizado común pueden usar la diferencia en el tiempo de llegada de la emisión de radio que acompaña a la descarga para determinar la distancia desde el detector hasta la descarga. Dichos sistemas pueden ser útiles en la silvicultura para la prevención de incendios y el seguimiento de ciclones .

Este método se puede utilizar en algunos casos en la formación de redes geodésicas de referencia de clases III, IV, concentración de redes de hasta 1, 2 categorías. Al crear redes geodésicas estatales de clases I y II, el método de trilateración no se utilizó en la URSS [5] [6] [2] .

En relación con el desarrollo y la mejora de la precisión de los equipos de luz y radiorango, los sistemas de navegación por satélite, así como la tecnología informática y las mediciones de distancia, los métodos de trilateración son cada vez más importantes, especialmente en la práctica de la ingeniería y el trabajo geodésico [2] .

Véase también

Notas

↑ Sergei Fedorovich Akhromeev, Instituto de Historia Militar. Diccionario enciclopédico militar. - Militar. editorial, 1986. - 863 p.
↑ 1 2 3 4 5 Yakovlev N.V. § 14. MÉTODOS BÁSICOS PARA CREAR LA RED GEODÉSICA DEL ESTADO // Geodesia superior . - Moscú: Nedra, 1989. - S. 47 -48. — 445 págs. - 8600 copias. (Ruso)
↑ Ígor Pandul. La astronomía geodésica aplicada a la solución de problemas geodésicos de ingeniería . — Litros, 2017-12-09. — 326 pág. — ISBN 9785040943883 . Archivado el 21 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Ingeniería geodesia
↑ Trilateración, su método - ¿Qué es? . Consultado el 4 de enero de 2020. Archivado desde el original el 19 de junio de 2020. (indefinido)
↑ Métodos básicos para crear una red geodésica estatal . Consultado el 4 de enero de 2020. Archivado desde el original el 7 de enero de 2020. (indefinido)

Literatura

Brinker, RC y Minnick, R. 12. Trilateración // El manual de topografía . - Chapman & Hall, 1995. - 967 p. — ISBN 9780412985119 .