Ultrafinitismo

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El ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo [1] , formalismo estricto [2] , finitismo estricto [2] , actualismo [1] , predicativismo [2] [3] y finitismo fuerte ) [2]  es una forma extrema de finitismo , que se manifiesta en una serie de conceptos y teorías matemáticos y filosóficos y matemáticos . Común a todas las formas de finitismo matemático es la negativa a utilizar una abstracción intuitivamente dudosa del infinito real, por ejemplo, un conjunto infinito de números naturales como un completo, completo en la construcción de un objeto; el ultrafinitismo, en cambio, niega o considera el infinito potencial, es decir, la posibilidad de construir objetos constructivos arbitrariamente grandes, como una abstracción con poco contenido; como consecuencia, por ejemplo, se niega la aplicabilidad de las operaciones aritméticas a todos los números naturales.

Antecedentes

El ultrafinitismo continúa las tradiciones del finitismo filosófico , que era muy común en el mundo antiguo y en la Edad Media, en particular, debido a la autoridad de Aristóteles , quien negaba el infinito real. En los tiempos modernos en matemáticas, la formación de estos puntos de vista está asociada con el surgimiento de la ingenua teoría de conjuntos de Georg Cantor , quien operó libremente sobre infinitos reales, lo que llevó al descubrimiento de una serie de paradojas . Los intentos de eliminar las paradojas y probar la consistencia de las matemáticas llevaron, a su vez, a la aparición y formación de una serie de nuevas tendencias matemáticas: el finitismo , el formalismo , el logicismo , el intuicionismo y el constructivismo de Hilbert . Después del surgimiento de la teoría axiomática de conjuntos , que eliminó las principales paradojas de la teoría de conjuntos , el enfoque de la teoría de conjuntos se volvió dominante en la enseñanza de las matemáticas [4] , sin embargo, el constructivismo como un área independiente de las matemáticas se conservó y desarrolló significativamente. Las opiniones de los matemáticos ultrafinitistas pueden considerarse una continuación y una forma extrema del constructivismo.

Argumento

El ultrafinitismo niega la aceptabilidad de objetos matemáticos finitos cuyo algoritmo de construcción existe, pero que son tan grandes que este algoritmo no puede implementarse debido a limitaciones físicas. En consecuencia, también se niega el significado de las operaciones con tales objetos. Si el finitismo y el constructivismo de Hilbert rechazan la abstracción del infinito real, entonces el ultrafinitismo se niega a considerar objetos que son "virtualmente" infinitos. En particular, se niega la existencia de la parte entera del primer número de Skewes :

sobre la base de que nadie ha podido calcular este número natural, y es poco probable que esto sea posible en principio. De hecho, para registrar el número de Skewes, se requieren aproximadamente dígitos decimales, que es significativamente mayor que el número de partículas elementales en la parte observable del Universo, ya que no hay más [5] .

Sin embargo, esta argumentación apela al sentido común y es más física y filosófica que matemática. En este sentido, es interesante la discusión en torno al libro del académico-físico Zel'dovich "Matemáticas superiores para principiantes y sus aplicaciones a la física", dura y justamente criticado desde el punto de vista de las matemáticas clásicas por el académico-matemático Pontryagin . Por ejemplo, la definición de Zel'dovich de la derivada como una relación de "incrementos suficientemente pequeños" no solo niega la necesidad de pasar al límite, sino que no es una definición matemática en absoluto. El matemático académico y en parte físico Arnold encontró un fuerte argumento para la defensa [6] :

El libro comenzaba con una impactante definición de la derivada como una razón de incrementos "bajo el supuesto de que son lo suficientemente pequeños" [7] . Esta definición “físicamente”, blasfema desde el punto de vista de las matemáticas ortodoxas, está, por supuesto, completamente justificada, porque los incrementos de una cantidad física menor que, digamos, 10 −100 son pura ficción: la estructura del espacio y el tiempo en tales las escalas pueden resultar muy alejadas del continuo matemático.

El argumento de Arnold tiene la forma de una suposición, pero puede complementarse con el hecho indiscutible de que, por ejemplo, la ecuación diferencial para la conducción del calor a tales escalas no tiene sentido, ya que la temperatura es el resultado de promediar las energías de las moléculas. La definición clásica de la derivada en este caso es insostenible debido a la ausencia de un límite. Pero la ecuación permite cálculos de alta precisión, ya que la definición de Zel'dovich funciona.

El creador de la teoría alternativa de conjuntos   Piotr Vopenka [8] [9] logró un progreso significativo en la construcción de una matemática completamente "finita" . Sin embargo, el ultrafinitismo, a diferencia del constructivismo, no se ha convertido en una tendencia completa en matemáticas y sigue siendo principalmente la filosofía de algunos matemáticos. La lógica constructivista Anne Sherp Troelstra en su revisión fundamental "Constructivism in Mathematics (1988)" [10] señaló la "falta de desarrollo satisfactorio" en el sentido de que simplemente no hay trabajos correspondientes sobre lógica matemática .

Investigadores asociados al ultrafinitismo

Yesenin-Volpin en 1962 publicó un programa para construir los cimientos de las matemáticas ultrafinitistas [11] . Los matemáticos que han publicado artículos sobre el tema del ultrafinitismo o expresado públicamente puntos de vista cercanos también incluyen a Doron Zeilberger , Eduard Nelson , Rohit Jivanlal Parikh, y Jean-Paul van Bendegem , Piotr Wopenka, Robin Gandy .

Algunos matemáticos no consideran importante ni necesario hablar públicamente sobre cuestiones de filosofía de las matemáticas que no son fundamentales para ellos, pero pueden tener puntos de vista muy radicales. Por ejemplo, el académico soviético Ya. V. Uspensky en una carta privada de 1926 caracterizó la teoría de conjuntos como "basura de Cantor-Lebesgue". [12]

Notas

  1. ↑ 1 2 Taller internacional sobre lógica y complejidad computacional, Lógica y complejidad computacional , Springer, 1995, p. 31
  2. ↑ 1 2 3 4 _ Iwan (2000), " Sobre la insostenibilidad del predicativismo de Nelson  (enlace no disponible) ", Erkenntnis 53 (1-2), pp. 147-154.
  3. ↑ No debe confundirse con el predicativismo de Russell.
  4. ↑ El académico V. V. Arnold caracteriza la enseñanza formal de teoría de conjuntos como "emasculada y muerta" 1 Archivado el 3 de noviembre de 2019 en Wayback Machine .
  5. ↑ Las muchas caras del universo Andrey Dmitrievich Linde, Universidad de Stanford (EE. UU.), profesor . Consultado el 12 de mayo de 2015. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2015.
  6. ↑ VI Arnold. YaB y Matemáticas . Consultado el 8 de julio de 2019. Archivado desde el original el 3 de noviembre de 2019.
  7. ↑ Para que esta definición se vuelva ultrafinitista-matemática, todavía es necesario aclarar el tamaño de los incrementos.
  8. ↑ Vopěnka, P. Matemáticas en la teoría alternativa de conjuntos. Teubner, Leipzig, 1979.
  9. ↑ Holmes, Randall M. Alternative Axiomatic Set Theories Archivado el 7 de agosto de 2019 en Wayback Machine en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
  10. ↑ AS Troelstra, D. van Dalen. Constructivismo en Matemáticas
  11. ↑ Ésénine-Volpine, AS (1961), Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Varsovia, 1959) , Oxford: Pergamon, p. 201–223  Revisado por Kreisel, G. & Ehrenfeucht, A. (1967), Revisión de Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques por AS Ésénine-Volpine , The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic) . - T. 32 (4): 517 , DOI 10.2307/2270182 
  12. ↑ Ermolaeva N. S. Nuevos materiales para la biografía de N. N. Luzin. // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka, 1989. - Nº 31 . - S. 193 .

Enlaces