Celosía unimodular

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Una red unimodular es una red completa con determinante . Este último es equivalente al hecho de que el volumen de la región fundamental de la red es . $\pm 1$ $una$

Definiciones

La red es un grupo abeliano libre de rango finito con forma bilineal simétrica . ${\matemáticas Z}^{n}$ $norte$ ${\ estilo de visualización ({*}, {*})}$
Una red también se puede ver como un subgrupo de un espacio vectorial real con una forma bilineal simétrica . $\mathbb{R} ^{n}$
El número se llama la dimensión de la red, es la dimensión del espacio vectorial real correspondiente ; es lo mismo que el rango del módulo , o el número de generadores de un grupo libre . $norte$ $\matemáticas {Z}$ ${\matemáticas Z}^{n}$ ${\matemáticas Z}^{n}$
La red se llama entero si la forma toma solo valores enteros. ${\ estilo de visualización ({*}, {*})}$
La norma de un elemento de celosía se define como . $a$ ${\ estilo de visualización (a, a)}$
Se dice que una red es definida positiva o lorentziana , y así sucesivamente, si su espacio vectorial lo es. En particular:
- Una red es definida positiva si la norma de todos los elementos distintos de cero es positiva.
- La firma de una red se define como la firma de una forma en un espacio vectorial.
El determinante de una red es el determinante de la matriz de Gram de su base.
Una red se llama unimodular si su determinante es . $\pm 1$
Una celosía unimodular se llama incluso si todas las normas de sus elementos son pares.

Ejemplos

$\mathbb {Z} \subconjunto \mathbb {R}$ , así como celosías unimodulares. $\mathbb {Z} ^{n}\subconjunto \mathbb {R} ^{n}$
Lattice E8 , Leach lattice son incluso celosías unimodulares.

Propiedades

Para un retículo dado en vectores tales que para cualquiera también forman un retículo llamado retículo dual a . ${\ estilo de visualización \ Lambda \ en \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x\en \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización (x, a) \ en \ mathbb {Z}}$ ${\ estilo de visualización \ en \ Lambda}$ $\lambda$
- Una red completa es unimodular si y solo si su doble red es integral.
- Una red unimodular es idéntica a su dual. Por esta razón, las redes unimodulares también se denominan autodual .
Existen celosías unimodulares impares para todas las firmas.
Existe un retículo unimodular par con firma si y solo si es divisible por 8. $(Minnesota)$ $Minnesota$
- En particular, incluso las redes unimodulares definidas positivas existen solo en dimensiones divisibles por 8.
La función theta de las redes definidas positivas unimodulares es la forma modular .

Aplicaciones

El segundo grupo de cohomología de variedades topológicas tetradimensionales orientadas, simplemente conectadas y cerradas es una red unimodular. Mikhail Fridman demostró que esta red prácticamente define una variedad: hay una sola variedad para cada red unimodular par, y exactamente dos para cada red unimodular impar.
- En particular, para la forma nula esto implica la conjetura de Poincaré para variedades topológicas de 4 dimensiones.
- El teorema de Donaldson dice que si una variedad es uniforme y su red es definida positiva, entonces debe ser una suma copia de . $\matemáticas {Z}$
  - En particular, la mayoría de estos colectores no tienen una estructura uniforme.

Literatura

Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28 , en Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, design sphériques et formes modularires , vol. 37, Mongr. Enseign. Math., Ginebra: L'Enseignement Mathematique, p. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 Archivado el 28 de septiembre de 2007 en Wayback Machine .
Conway, JH & Sloane, NJA (1999), Empaquetaduras , redes y grupos de esferas , vol. 290 (tercera ed.), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9
King, Oliver D. (2003), Una fórmula de masa para celosías unimodulares sin raíces , Matemáticas de Computación Vol. 72 (242): 839–863 , DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2
Milnor, John y Husemoller, Dale (1973), Formas bilineales simétricas , vol. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , DOI 10.1007/978-3-642-88330-9
Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , vol. 7, Textos de posgrado en matemáticas , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90040-3 , DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4

Enlaces externos

Catálogo de Celosías Unimodulares de Neil Sloan .
A005134 de Sloane: Número de redes unimodulares n-dimensionales ", La enciclopedia en línea de secuencias enteras. Fundación OEIS.