Ecuación de Bethe-Salpeter

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La ecuación de Bethe-Salpeter , llamada así por H. Bethe y E. Salpeter , describe los estados ligados de un sistema de campo cuántico de dos partículas en una forma covariante relativista . La ecuación se publicó por primera vez en 1950 al final de un artículo de Yoichiro Nambu , pero sin una derivación. [una]

Forma integral de la ecuación de Bethe-Salpeter

El principal método para resolver problemas de interacción es, sin duda, la teoría de perturbaciones, pero está lejos de ser el único método. Existen los llamados métodos no perturbativos, y uno de ellos conduce a la ecuación de Bethe-Salpeter. Se considera un sistema de dos fermiones acoplados . En una teoría libre, como se sabe, para una función de onda de una sola partícula (donde es el índice de espinor ) , el propagador se define de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización \ psi _ {a}}$ $a$

\psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\! \!/(x_{1})\psi (x_{1})}

Aquí usamos una notación que usa "matrices tachadas" , - 4 vectores de la normal exterior . La integración se realiza sobre la superficie del volumen, que incluye el evento , . propagador de Feynman. En el caso de partículas que no interactúan, se define como la solución de la siguiente ecuación [2] : ${\ estilo de visualización n (x_ {1})}$ ${\ estilo de visualización x_ {2))$ ${\ estilo de visualización S_ {F}}$

(i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x)\qquad (1)

De manera similar al propagador de la función de onda de una partícula , se puede definir el propagador de la función de onda de dos partículas mediante la siguiente expresión:

\psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab }{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2} )\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}\qquad (2)

Aquí hay un espinor con dos índices de espinor . En el caso de partículas que no interactúan, la función de onda de dos partículas se descompone en el producto de las de una sola partícula y el propagador en el producto de los propagadores: ${\ estilo de visualización \ psi _ {ab}}$ ${\ estilo de visualización a, b}$

S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})

Sin embargo, este es el caso más trivial. Ahora vamos a "encender" la interacción electromagnética entre dos partículas. Si seguimos la ideología de la teoría de la perturbación, entonces obtendríamos, siguiendo a Feynman , se representa como: $S^{ab}$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma

Por se entiende la suma de todos los diagramas posibles obtenidos de la teoría de la perturbación. La idea principal que conduce a la ecuación es que denotamos la suma total de los diagramas como un núcleo determinado . Llamaremos reducible a un diagrama si, después de quitar dos líneas fermiónicas, se desconecta. Entonces se puede representar como la suma de dos contribuciones: la contribución de los diagramas reducibles y la contribución de los diagramas irreducibles . Se puede demostrar [3] que la expresión para se puede reescribir como: $\Sigma$ $k$ $k$ ${\sobrelínea {K}}$ $S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d ^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\ sobrerrayado {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1} ,x_{2})}

Sustituyendo esta expresión en obtenemos la ecuación de Bethe-Salpeter: ${\ estilo de visualización (2)}$

\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3 }d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_ {F}^{b}(x_{2},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4}) \psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)

En esta expresión , es una función de onda libre de dos partículas, es decir, una función de onda en ausencia de interacción entre partículas. Así, hemos obtenido la ecuación integral de Fredholm de segunda clase . ${\ estilo de visualización \ varphi _ {ab}}$

Forma integral-diferencial de la ecuación de Bethe-Salpeter. Escribiendo en el espacio p

Actuamos ahora sobre la ecuación de Bethe-Salpeter por los operadores , en vigor obtenemos la siguiente expresión: $(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})$ ${\ estilo de visualización (1)}$

(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab }(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\overline {K))^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

En consecuencia, en lugar de una ecuación integral del tipo de Fredholm, obtenemos una ecuación integro-diferencial para una función de onda de dos partículas . Otra forma posible de escribir la ecuación de Bethe-Salpeter es escribirla en el espacio de momento, es decir, definimos la transformada de Fourier de una función de onda de dos partículas de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización \ psi _ {ab} (x_ {1}, x_ {2})}$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {ab} (x_ {1}, x_ {2})}$

\chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1 }d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_ {2})}}

La transformada de Fourier de la ecuación de Bethe-Salpeter se escribe de la siguiente manera:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1 }x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{ 2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4))}\int {d ^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_ {2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{ 3},x_{4})}

En el lado izquierdo, puedes llevar los gradientes al exponente usando integración por partes . También agregamos dos funciones delta al lado derecho. Obtenemos:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \ !\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1} +p_{2}x_{2})}\derecha]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=

=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_ {3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{ 2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline { K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Usando la representación de impulso de funciones delta con variables primadas, podemos reescribir el kernel en representación de impulso, a saber: ${\overline {K}}^{ab}$

{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{ 8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{ 1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})}

Usando esto, obtenemos la ecuación de Bethe-Salpeter en forma de momento:

({\cancelar {p}}_{1}-m_{a})({\cancelar {p}}_{2}-m_{b})\chi_ab}(p_{1} ,p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1}, p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}

Otras representaciones

Debido a su generalidad y al hecho de que se utiliza en muchas ramas de la física teórica , la ecuación de Bethe-Salpeter se puede encontrar en varias formas. Una forma de uso frecuente en la física de alta energía es:

\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4))}\;K(P,p,k)\, S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})

donde es la amplitud de Bethe-Salpeter , describe la interacción de dos partículas y es su propagador . ${\ estilo de visualización \ gamma}$ $k$ $S$

Dado que esta ecuación se puede obtener identificando los estados unidos con los polos de la matriz S , se puede relacionar con la descripción cuántica de los procesos de dispersión y las funciones de Green .

Incluso para sistemas simples como el positronio , la ecuación no se puede resolver con exactitud, aunque en principio se establece con exactitud. Afortunadamente, la clasificación de estados se puede hacer sin usar una solución exacta. Si una partícula es mucho más masiva que la otra, entonces la tarea se simplifica enormemente y, en este caso, la ecuación de Dirac se resuelve para una partícula ligera ubicada en un potencial externo creado por una partícula pesada.

Notas

↑ Y. Nambu. Potenciales de fuerza en la teoría cuántica de campos // Progreso de la física teórica. - 1950. - Vol. 5 , núm. 4 . -doi : 10.1143/ PTP.5.614 .
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Cromodinámica Cuántica . — 3er. - Springer, 2007. - S. 46 -47. — 475 pág.
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Cromodinámica Cuántica. — Springer. - S. 347-348. — 475 pág.

Literatura

W. Greiner , J. Reinhardt. Electrodinámica Cuántica. — 3er. - Springer (editor), 2003. - ISBN 978-3-540-44029-1 .
N. Nakanishi. Un estudio general de la teoría de la ecuación de Bethe-Salpeter (inglés) // Progress of Theoretical Physics. - 1969. - Vol. 43 . — Pág. 1–81 . -doi : 10.1143/ PTPS.43.1 .
N.N. Bogolyubov, D.V. Shirkov, Introducción a la teoría de campos cuantizados, 1973