La ecuación de Friedmann es una ecuación en cosmología que describe el desarrollo de un Universo homogéneo e isotrópico ( el Universo de Friedmann ) en el tiempo dentro del marco de la teoría general de la relatividad . Nombrado en honor a Alexander Alexandrovich Fridman , quien derivó por primera vez esta ecuación en 1922 [1] .
La ecuación de Friedman está escrita para la métrica de Friedmann, que es una métrica síncrona de un espacio isótropo homogéneo (un espacio de curvatura constante) [2] ,
donde es el elemento de longitud en el espacio de curvatura constante, es la escala (“tamaño”) del universo.
El espacio de curvatura constante puede ser de tres tipos: esfera (cerrada), pseudoesfera (abierta) y espacio plano.
Para un universo cerrado, la métrica de Friedmann es
donde es la distancia fotométrica , ; - ángulos esféricos; — tiempo escalado, .
Los componentes del tensor de Ricci para esta métrica son
donde primo significa diferenciación con respecto a .
Para un fluido ideal, el tensor de energía-momento es
donde es la densidad de energía, es la presión. En coordenadas síncronas, la materia está en reposo, por lo que la 4-velocidad es .
El componente de tiempo de la ecuación de Einstein ,
con el tensor de Ricci y el tensor de energía-momento especificados y es la ecuación de Friedmann ,
Si se conoce la relación entre la densidad de energía y la presión (la ecuación de estado), entonces la dependencia de la densidad de energía en la escala del universo se puede encontrar usando la ecuación de conservación de energía
En este caso, la solución de la ecuación de Friedmann se puede expresar como una integral,
Un universo abierto (infinito) con curvatura espacial negativaPara un universo abierto, la métrica de Friedmann es
donde , ; - ángulos esféricos; — tiempo escalado, .
Obviamente, esta métrica se obtiene a partir de la métrica de universo cerrado por sustitución .
En consecuencia, la ecuación de Friedmann para un universo abierto es
Universo abierto (infinito) y planoPara un universo plano, la métrica de Friedmann es
donde , ; - ángulos esféricos; — tiempo escalado, .
Obviamente, esta métrica se obtiene formalmente de la métrica de universo cerrado en el límite .
Observando que , donde , la ecuación de Friedmann para un universo plano se obtiene en el límite indicado como
En estas coordenadas, la métrica de un espacio con curvatura constante es
donde son las coordenadas angulares esféricas;
- coordenada radial reducida, definida como sigue: la circunferencia del radio con el centro en el origen es igual a es una constante que toma el valor 0 para un espacio plano, +1 para un espacio con curvatura constante positiva, −1 para un espacio con curvatura constante negativa;La ecuación de Friedmann se puede integrar analíticamente para dos casos límite importantes, un universo lleno de polvo y un universo lleno de radiación.
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