Ecuación de Euler-Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange (en física también las ecuaciones de Lagrange-Euler , o las ecuaciones de Lagrange ) son las fórmulas básicas del cálculo de variaciones , con la ayuda de las cuales se buscan puntos estacionarios y extremos de funcionales . En particular, estas ecuaciones se utilizan ampliamente en problemas de optimización y, junto con el principio de estacionariedad de acción, se utilizan para calcular trayectorias en mecánica. En la física teórica en general, estas son las ecuaciones (clásicas) de movimiento en el contexto de derivarlas de una expresión explícitamente escrita para la acción ( la lagrangiana ).

El uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange para encontrar el extremo de un funcional es en cierto sentido similar al uso del teorema del cálculo diferencial, que establece que solo en el punto donde la primera derivada de una función se anula puede una función suave tener un extremo (en el caso de un argumento vectorial , el gradiente de la función se iguala a cero, es decir, derivado con respecto al argumento vectorial). Más precisamente, esta es una generalización directa de la fórmula correspondiente al caso de los funcionales, funciones de un argumento de dimensión infinita.

Las ecuaciones fueron derivadas por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange en la década de 1750 .

Redacción

Deja que lo funcional

J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx

en el espacio de funciones suaves , donde denota la primera derivada con respecto a . $f\dos puntos [a,b]\to \mathbb {R}$ $F'$ $F$ $X$

Suponga que el integrando tiene primeras derivadas parciales continuas . La función se llama función de Lagrange , o Lagrangiana . ${\ estilo de visualización F (x, f (x), f '(x))}$ $F$

Si el funcional llega a un extremo en alguna función , entonces la ecuación diferencial ordinaria debe cumplirse para ello. $j$ $F$

{\frac {\parcial F}{\parcial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\parcial F}{\parcial f'))=0,

que se llama la ecuación de Euler-Lagrange .

Ejemplos

Considere un ejemplo estándar: encuentre el camino más corto entre dos puntos en un plano. La respuesta, obviamente, es el segmento que conecta estos puntos. Intentemos obtenerlo usando la ecuación de Euler-Lagrange, suponiendo que existe el camino más corto y es una curva suave .

Deje que los puntos a conectar tengan coordenadas y . Entonces, la longitud del camino que conecta estos puntos se puede escribir de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización (a, c)}$ ${\ estilo de visualización (b, d)}$ $y(x)$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.

La ecuación de Euler-Lagrange para este funcional toma la forma:

{\frac d{dx}}{\frac {\parcial }{\parcial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} =0,

de donde sacamos eso

{\frac {dy}{dx}}=C\Flecha derecha y=Cx+D.

Por lo tanto, obtenemos una línea recta. Dado que , , es decir, que pasa por los puntos originales, obtenemos la respuesta correcta: un segmento de línea recta que conecta los puntos. ${\ estilo de visualización y (a) = c}$ ${\ estilo de visualización y (b) = d}$

Variaciones multidimensionales

También hay muchas versiones multidimensionales de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Si es un camino en el espacio -dimensional, entonces entrega un extremo al funcional $q(t)$ $norte$

J=\int \limits _{{t1}}^{{t2}}L(t,q(t),q'(t))\,dt

solo si cumple la condición

{\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L}{\parcial q'_{k}}}-{\frac {\parcial L}{\parcial q_{k}}}=0

\forall k=1,2,\puntos n

En aplicaciones físicas, cuando es un Lagrangiano (es decir, el Lagrangiano de algún sistema físico; es decir, si J es una acción para ese sistema), estas ecuaciones son las ecuaciones (clásicas) de movimiento de dicho sistema. Esta afirmación se puede generalizar directamente al caso de q de dimensión infinita . $L$

Otra generalización multivariada se obtiene considerando una función de variables. Si es alguna superficie (en este caso, n - dimensional), entonces $norte$ $\Omega$

J=\int \limits_{{\Omega }}L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{{x_{1}}},\dots ,f_{{x_{n} }})\,d\Omega ,

donde son coordenadas independientes, , , $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\puntos,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\puntos,x_{n})$ $f_{{x_{i))}\equiv {\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}$

entrega un extremo solo si satisface la ecuación diferencial parcial $F$

{\frac {\parcial L}{\parcial f}}-\sum_{{i=1}}^{n}}{\frac {\parcial }{\parcial x_{i}}}{\frac {\parcial L}{\parcial f_{{x_{i))))}=0.

Si y es la energía funcional, entonces este problema se llama "minimizar la superficie de la película de jabón". $n=2$ $L$

Se usa una combinación obvia de los dos casos descritos anteriormente para obtener las ecuaciones de movimiento para sistemas distribuidos tales como campos físicos, cuerdas o membranas vibrantes, etc.

En particular, en lugar de la ecuación estática de equilibrio de una película de jabón, dada como ejemplo en el párrafo anterior, tenemos en este caso la ecuación dinámica de movimiento de dicha película (si, por supuesto, logramos escribir inicialmente la acción para ello, es decir, la energía cinética y potencial).

Historia

La ecuación de Euler-Lagrange fue obtenida en la década de 1750 por Euler y Lagrange mientras resolvían el problema isócrono. Este es el problema de determinar la curva que toma una partícula pesada hasta un punto fijo en un tiempo fijo, independientemente del punto de partida.

Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. El método de Lagrange desarrollado más tarde y su aplicación en mecánica condujo a la formulación de la mecánica de Lagrange . La correspondencia de los científicos llevó a la creación del cálculo de variaciones (el término fue propuesto por Euler en 1766 ).

Prueba

La derivación de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange es una de las demostraciones clásicas en matemáticas. Se basa en el lema principal del cálculo de variaciones .

Queremos encontrar una función que satisfaga las condiciones de contorno y entregue un extremo al funcional $F$ ${\ estilo de visualización f (a) = c}$ ${\ estilo de visualización f (b) = d}$

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.

Suponga que tiene primeras derivadas continuas. También son suficientes condiciones más débiles, pero la prueba para el caso general es más complicada. $F$

Si da un extremo al funcional y satisface las condiciones de contorno, entonces cualquier perturbación débil que preserve las condiciones de contorno debe aumentar el valor (si lo minimiza) o disminuirlo (si lo maximiza). $F$ $F$ $j$ $F$ $j$ $F$

Sea cualquier función derivable que satisfaga la condición . definamos ${\ estilo de visualización \ eta (x)}$ ${\ estilo de visualización \ eta (a) = \ eta (b) = 0}$

J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)) \,dx.

donde es un parámetro arbitrario. $\varepsilon$

Dado que da un extremo para , entonces , eso es $F$ $j(0)$ ${\ estilo de visualización J' (0) = 0}$

J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\parcial F}{\parcial f))+\eta '(x){\frac {\F parcial}{\f'parcial}}\right]\,dx=0.

Integrando el segundo término por partes, encontramos que

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\parcial F}{\parcial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\parcial F} {\parcial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\parcial F}{\parcial f'}}\right]_{a}^{ b}.

Usando las condiciones de frontera en , obtenemos $\eta$

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\parcial F}{\parcial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\parcial F} {\f' parcial}}\right]\eta (x)\,dx.

A partir de aquí, ya que - cualquiera, la ecuación de Euler-Lagrange sigue: ${\ estilo de visualización \ eta (x)}$

{\frac {\F parcial}{\f parcial}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\F parcial}{\f' parcial}}=0.

Si no introducimos condiciones de contorno en , entonces también se requieren las condiciones de transversalidad: $f(x)$

{\frac {\parcial F}{\parcial f'}}(a,f(a),f'(a))=0

{\frac {\parcial F}{\parcial f'}}(b,f(b),f'(b))=0

Generalización al caso con derivadas superiores

El Lagrangiano también puede depender de derivadas de orden superior al primero. $F$

Deje que el funcional cuyo extremo se encuentra se dé en la forma:

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{{(n)}}( x))\,dx.

Si imponemos condiciones de contorno sobre y sobre sus derivadas hasta el orden inclusive, y también suponemos que tiene derivadas parciales continuas de orden [1] , entonces, aplicando la integración por partes varias veces, podemos derivar un análogo de Euler -Ecuación de Lagrange para este caso también: $F$ $n-1$ $F$ $2n$

{\frac {\parcial F}{\parcial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\parcial F}{\parcial f'))+{\frac {d^{2} {dx^{2))}{\frac {\F parcial}{\f parcial''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^ {n}}}{\frac {\parcial F}{\parcial f^{{(n))))))=0.

Esta ecuación a menudo se conoce como la ecuación de Euler-Poisson .

Dos Lagrangianos que difieren en una derivada total darán las mismas ecuaciones diferenciales, pero el orden máximo de derivadas en estos Lagrangianos puede ser diferente. Por ejemplo, . Para obtener una ecuación diferencial para el extremo, basta aplicar la ecuación de Euler-Lagrange “ordinaria” a , y para , ya que depende de la segunda derivada, se necesita usar la ecuación de Euler-Poisson con el término correspondiente: $L_{1}=(f^{\prime }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{{\prime \prime }}(x)~,~L_ {1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))$ $L_{1}$ $L_{2}$

{\frac {\parcial L_{1}}{\parcial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\parcial L_{1}}{\parcial f'}}=-2f^ {{\principal \principal}}(x),

{\frac {\parcial L_{2}}{\parcial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\parcial L_{2}}{\parcial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\parcial L_{2}}{\parcial f^({\prime \prime }}}}=-2f^{{\prime \ prima}}(x),

y en ambos casos se obtendrá la misma ecuación diferencial . $-2f^{{\principal \principal}}(x)=0$

Notas

↑ A. M. Denisov, A. V. Razgulin. Ecuaciones diferenciales ordinarias (ruso) ? . Consultado el 11 de junio de 2021. Archivado desde el original el 11 de junio de 2021. (indefinido)

Literatura

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Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna: métodos y aplicaciones. — M.: Nauka, 1979
Elsgol'ts LE Ecuaciones Diferenciales y el Cálculo de Variaciones. — M.: Nauka, 1969.
Zelikin M. I. Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones, - Factorial, Moscú, 1998.
Zelikin M. I. Control óptimo y cálculo de variaciones, - URSS, Moscú, 2004.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Calculus of Variations (inglés) en el sitio web de PlanetMath .
Resumen con algo de información histórica
Ejemplos - problemas del cálculo de variaciones.