Lagrangiano

El Lagrangiano , la función de Lagrange de un sistema dinámico , es una función de coordenadas generalizadas y describe la evolución del sistema. Por ejemplo, las ecuaciones de movimiento (para la mecánica clásica) en este enfoque se derivan del principio de acción mínima , escrito como ${\ matemáticas {L}} [\ varphi _ {i}]$ $\ \varphi _{i}(s)$

{\frac {\delta {\mathcal {S))}{\delta \varphi _{i))}=0,

donde la acción es un funcional ${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

a - coordenadas generalizadas (por ejemplo, coordenadas de partículas o variables de campo), denota un conjunto de parámetros del sistema, en el caso de la mecánica clásica: coordenadas espaciales independientes y tiempo, y, más ampliamente, parámetros eléctricos u otros parámetros físicos. Nombrado en honor a Joseph Louis Lagrange . $\varphi _{i}$ $\s_{j}$

Las ecuaciones obtenidas poniendo a cero la derivada funcional de la funcional en todas las direcciones son idénticas a las ecuaciones habituales de Euler-Lagrange . Los sistemas dinámicos cuyas ecuaciones pueden obtenerse mediante el principio de acción mínima para una función de Lagrange convenientemente elegida se conocen como sistemas dinámicos lagrangianos .

Hay muchos ejemplos de sistemas dinámicos lagrangianos, que van desde la versión clásica del modelo estándar en física de partículas hasta las ecuaciones de Newton en mecánica clásica (ver Mecánica lagrangiana ). También se incluyen en esta área problemas puramente matemáticos como el problema de encontrar las ecuaciones de las geodésicas y el problema de la Meseta .

Mediante la transformación de Legendre , se relaciona el lagrangiano con el hamiltoniano (en el que se toman como base los momentos ). La formulación hamiltoniana de la mecánica clásica se basa en la hamiltoniana.

Un ejemplo de la mecánica clásica

El concepto de función de Lagrange se introdujo originalmente para reformular la mecánica clásica en la forma conocida como mecánica lagrangiana . En este contexto, la función de Lagrange suele tomarse como la diferencia entre las energías cinética y potencial de un sistema mecánico.

Sea la dimensión del espacio igual a tres y la función de Lagrange se escriba en la forma

{\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}m{\dot {{\vec {x}}}}^{2}-V({\vec {x}} ),

donde la derivada temporal se denota por un punto por encima de la cantidad diferenciable, es el radio vector de la partícula, es su masa y es la energía potencial. Entonces la ecuación de Euler-Lagrange será ${\ vec {x}}$ $metro$ $V$

m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0,

donde esta el gradiente $\ nabla V$

Utilizando este resultado, se puede demostrar fácilmente que este enfoque es equivalente al de Newton. Escribimos la fuerza en términos del potencial , luego obtenemos la ecuación , que es similar a la ecuación de Newton con masa constante. Cálculos simples nos llevarán a la expresión , que es la segunda ley de Newton en su forma generalizada. $F$ ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$ ${\vec {F}}=m{\ddot {{\vec {x}}}}$ ${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$

Para un sistema tridimensional con coordenadas esféricas r , θ, φ con Lagrangiano

{\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{ 2}\theta {\dot {\varphi}}^{2})-V(r)

se pueden obtener las siguientes ecuaciones de Euler-Lagrange:

m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0 ,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2 }=0,

{\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.

El Lagrangiano relativista clásico de una partícula libre

El lagrangiano clásico (no cuántico, entre otras cosas, ignorando el espín ) de una partícula libre en la teoría de la relatividad coincide (hasta un signo) con la tasa de crecimiento de la longitud de su línea de mundo en el espacio de Minkowski (es decir, con la tasa de cambio del tiempo propio ), multiplicado por la masa de la partícula y por el cuadrado de la velocidad de la luz : $metro$ $C$

{\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},

donde es la velocidad tridimensional habitual de la partícula. $v$

De este lagrangiano se sigue la dinámica clásica de las partículas relativistas (dinámica relativista ).

Lagrangianos y densidades lagrangianas en la teoría de campos

En la teoría clásica y cuántica de campos, se hace una distinción entre el Lagrangiano L , en términos del cual la acción se expresa como una integral solo en el tiempo

{\ estilo de visualización S = \ int {L \, dt},}

y la densidad del Lagrangiano , que debe integrarse en todo el espacio-tiempo de cuatro dimensiones (y en algunas teorías incluso más multidimensional ): $\mathcal{L}$

S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}.

Entonces el Lagrangiano es la integral sobre las variables espaciales de la densidad del Lagrangiano.

Recientemente, la densidad del Lagrangiano a menudo se denomina simplemente Lagrangiano; esto es útil en teorías relativistas ya que se define localmente. Esta definición de términos es obviamente una alternativa a la dada al comienzo del párrafo. A menudo, también se introduce una distinción entre la función lagrangiana y la función de Lagrange, entendiendo esta última como la integral de la función lagrangiana sobre el espacio. $\mathcal{L}$

Ambas definiciones del Lagrangiano se pueden obtener como casos especiales de la definición general, dependiendo de si las variables espaciales están incluidas en el índice o en los parámetros en . Las teorías cuánticas de campos en física de partículas , como la electrodinámica cuántica , se describen generalmente en términos de . Esta forma es conveniente ya que se traduce rápidamente en las reglas utilizadas para evaluar los diagramas de Feynman . ${\vec x}$ $i$ $s$ $\varphi _{i}(s)$ $\mathcal{L}$

Lagrangiano electromagnético

En esta sección, estamos hablando de electrodinámica puramente clásica (no cuántica) (el Lagrangiano electrodinámico cuántico se describe en las siguientes secciones), en particular, lo que se dijo sobre una sustancia cargada con la que interactúa un campo electromagnético, es decir, tanto el término de interacción y el Lagrangiano de la sustancia misma (el Lagrangiano del campo electromagnético libre es generalmente el mismo en la teoría clásica y cuántica).

Electrostática

La electrostática es la física de los campos eléctricos estáticos (es decir, constantes), que pueden describirse (de forma aproximada o exacta) mediante un potencial escalar [1] y una sustancia cargada que se mueve bastante lentamente, lo que obedece a la mecánica newtoniana.

En mecánica clásica, el lagrangiano es

{\mathcal {L}}=TV,

donde es la energía cinética y es la energía potencial. $T$ $V$

Para una partícula cargada con masa y carga ubicada en un campo eléctrico (electrostático) con un potencial escalar , la energía cinética viene dada por la expresión $metro$ $q$ ${\ estilo de visualización \ varphi \}$

T_{s}={1 \sobre 2}m{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {v}}

- para una partícula (para muchas, se toma la suma).

La energía de interacción del campo con una sustancia cargada se ve como

V=q\varfi \

por un punto de carga (agrega por muchos),

{\ Displaystyle V = \ int \ rho \ varphi \ dxdydz}

— en forma de distribución de carga continua.

(Resulta útil escribir ambos tipos por separado, aunque, por supuesto, se reducen entre sí si usa la función delta ). La energía de campo se incluye en el término de energía cinética junto con la energía cinética de las partículas [2] , escrita como:

T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa}(\nabla \varphi)^{2}dxdydz,

donde está la "constante de fuerza", que finalmente entra en la ley de Coulomb . $\varkappa$

Así, el Lagrangiano de la electrostática, que incluye la energía cinética del movimiento (lento) de las partículas cargadas, es el siguiente:

{\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},

(cada miembro está escrito arriba).

Naturalmente, este Lagrangiano puede, si es necesario, complementarse con otros términos que describan fuerzas no eléctricas, por ejemplo, por la energía de la elasticidad, etc.

Al variar la acción con el Lagrangiano descrito en este párrafo [3] , es fácil obtener la ecuación de campo para la electrostática ( ecuación de Poisson ):

{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} \ varphi = - \ varkappa \ rho}

y la ecuación de movimiento de una partícula en un campo electrostático (coincidiendo en general con la obtenida en el ejemplo de una partícula clásica al principio del artículo):

m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \varphi .

Electrodinámica

Redacción 3D

En el caso de la electrodinámica , uno tiene que usar no la energía potencial clásica, sino la energía potencial generalizada (dependiendo de las velocidades) (la energía de interacción):

V=q\varphi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,

V=\int (\rho \varphi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz,

donde es la velocidad de la luz , es la velocidad de la partícula, j es el vector de densidad de corriente , A es el vector potencial . $C$ $v$

La energía del campo electromagnético también debería incluir, en comparación con el caso de la electrostática, también la energía del campo magnético [4] :

T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa}}(E^{2}-H^{2})dxdydz,

donde los vectores de la intensidad del campo eléctrico E y la intensidad del campo magnético H deben considerarse expresados en términos del potencial escalar y el potencial vectorial A : $\varphi$

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{1 \over c}{\frac {\parcial \mathbf {A} {\parcial t)),

\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} .

Entonces el Lagrangiano electromagnético se puede escribir en la forma

L=T_{f}-q\varphi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.

L=T_{f}+\int (-\rho \varphi +{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} {c)))dxdydz+T_{s}.

Aquí, como el Lagrangiano de la materia, se puede usar la expresión aproximada para partículas lentas, como se describe en el párrafo sobre electrostática, o se puede usar (ya que para la electrodinámica, que no se limita a los movimientos lentos, esto es, en términos generales, relevante ) el Lagrangiano relativista para partículas rápidas $T_{s}$

T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}.

Como en el caso de la electrostática, si es necesario, se pueden agregar a este Lagrangiano términos adicionales que describen fuerzas no electromagnéticas, otros campos, etc., lo que, sin embargo, va más allá del alcance del problema de describir el Lagrangiano electromagnético. Estrictamente hablando, escribir la energía cinética de una sustancia también va más allá de estos límites, pero lo escribimos para que la descripción conserve su integridad.

Al variar la acción con este Lagrangiano en φ y en (independientemente para cada uno, utilizando la segunda forma de escribir el Lagrangiano), se obtienen las ecuaciones de Maxwell , y al variar en las coordenadas de partículas cargadas -utilizando la primera forma de escritura- las ecuaciones de movimiento de partículas cargadas en un campo, que se reduce a: $A_{x},A_{y},A_{z}$

d{\mathbf p}/dt={\mathbf F}_{L},

donde p es el momento (tridimensional) de la partícula, es la fuerza de Lorentz (incluido el término eléctrico). ${\mathbf F}_{L}$

Sin embargo, la forma más simple y corta de obtener tal derivación es la formulación de cuatro dimensiones (ver más abajo).

Formulación de cuatro dimensiones

En una formulación de cuatro dimensiones, la densidad del Lagrangiano del campo electromagnético , su interacción con una sustancia cargada y (para completar la imagen) la sustancia misma se ve así (usando el sistema de unidades c = 1 ):

L={\frac{1}{4\varkappa }}F_{{ik}}F^{{ik}}+A_{i}j^{i}+L_{s}.

El segundo término (que describe la interacción) se puede reescribir para que la acción correspondiente sea:

S_{{int}}=-\int qA_{i}dx^{i}.

( El término es la densidad habitual del Lagrangiano de una partícula rápida -en el caso general-; no se puede escribir explícitamente, ya que no es necesario para la teoría clásica, ya que necesita el Lagrangiano de tal partícula, escrito como de costumbre - ver arriba - y no su densidad). $L_{s}$

Aquí , es el tensor de campo electromagnético (el Lagrangiano incluye su convolución, el cuadrado), es el 4-potencial , es la densidad de corriente de cuatro dimensiones , es la 4-coordenada del punto en la región en la que se realiza la integración; La regla de suma de Einstein sobre un índice repetido está implícita . $F^{{ik}}$ $Ai}$ $j^{yo}$ $x^yo$

Al variar con , las ecuaciones de Maxwell se obtienen fácilmente en forma de cuatro dimensiones: $Ai}$

\parcial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k},

y variando en - la ecuación de movimiento de la partícula: $x^yo$

dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\,

donde está el 4-momento , es el 4-velocidad . $p_{i}=mu_{i}$ $tu^{k}$

El Lagrangiano de la teoría cuántica de campos

El Lagrangiano de la teoría cuántica de campos (QFT) coincide básicamente con el clásico, excepto en los casos en que es difícil introducir analogías clásicas para alguna parte de las variables de campo o interpretarlas correctamente; sin embargo, incluso entonces es posible, al menos puramente formalmente, obtener las llamadas ecuaciones clásicas de movimiento usando, en lugar de uno u otro procedimiento para cuantificar el campo con un Lagrangiano dado, la aproximación de la fase estacionaria ( estacionario acción ), es decir, encontrando la aproximación clásica de la descripción del sistema.

Por lo tanto, los lagrangianos escritos a continuación no son, en cierto sentido, específicos solo de la teoría cuántica de los campos correspondientes; sin embargo, se utilizan en QFT, representando en cierto modo su base.

El Lagrangiano de la electrodinámica cuántica

Densidad lagrangiana para electrodinámica cuántica (QED):

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,Dm)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu},

donde es el espinor (cuatridimensional), es su conjugación de Dirac , es el tensor de campo electromagnético , D es la derivada covariante de norma y es la notación de Feynman para . $\psi$ ${\bar \psi}=\psi^{\daga}\gamma^{0}$ ${\ Displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $\no d$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {\ sigma} D_ {\ sigma}}$

Lagrangiano de Dirac

Densidad del Lagrangiano para el campo de Dirac

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\;\parcial -m)\psi .

Lagrangiano de la cromodinámica cuántica

Densidad lagrangiana para cromodinámica cuántica [5]

{\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi}}_{n}(\no \!\,D_{\mu}+m_{n})\psi _{n},

donde es la derivada covariante de calibre de QCD y es el tensor de intensidad de campo de gluones . ${\ Displaystyle D_ {\ mu}}$ ${\displaystyle F^{\alpha }{}_{\mu \nu ))$

Una condición necesaria y suficiente para la existencia y unicidad de la ecuación de Lagrange

En mecánica clásica, una condición necesaria y suficiente para la existencia y unicidad de la ecuación de Lagrange es [6] . $det\left\|{\frac {\parcial ^{2}L}{\parcial {\dot {q}}_{j}\parcial {\dot {q}}_{k}}}\ derecho\|_{j,k=1}^{n}\neq 0$

Enlaces

Cristóbal Schiller . Descripciones globales del movimiento: la simplicidad de la complejidad , Motion Mountain (2005)
David Tong Classical Dynamics (notas de conferencias de Cambridge)

Notas

↑ Aquí, por supuesto, nos referimos a un escalar del espacio tridimensional ordinario, y no a un invariante de las transformaciones de Lorentz.
↑ Esto está determinado por el signo que debe obtenerse como resultado en las ecuaciones de movimiento y por el hecho de que, por ciertas razones, se desea tener una energía de campo positiva. Todo esto puede estar más o menos rigurosamente justificado, pero aquí nos limitaremos a las simples consideraciones que acabamos de exponer.
↑ Para obtener la ecuación de campo, es más conveniente usar la interacción Lagrangiana expresada en términos de , para obtener la ecuación de movimiento de una partícula en el campo - en términos de la posición de una partícula puntual (en términos de ). $\rho$ ${\ Displaystyle q\ varphi}$
↑ El tema de los signos, como se hizo anteriormente para el campo electrostático, no se discutirá en detalle aquí, aunque existe una justificación bastante rigurosa, limitándose nuevamente a la observación de que son precisamente esos signos los que dan los signos necesarios en el final. ecuaciones
^ Cromodinámica cuántica (QCD) . Consultado el 21 de febrero de 2006. Archivado desde el original el 9 de julio de 2011. (indefinido)
↑ Aizerman M. A. Mecánica clásica. - M., Nauka, 1980. - pág. 165

Literatura

Publicaciones históricas

J. Lagrange . Mecánica analítica. - M. - L .: Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1950. - 594 p.

Cursos de física teórica

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecánica. - 5ª edición, estereotipada. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 págs. — (“Física Teórica”, tomo I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Field Theory (Física teórica, vol. II ). — M. : Fizmatlit, 2003. — 536 p. — ISBN 5-9221-0056-4 .