La ecuación de movimiento de un medio continuo.

La ecuación de movimiento de un medio continuo es una ecuación vectorial que expresa el balance de cantidad de movimiento para un medio continuo .

Antecedentes históricos

Cauchy obtuvo la ecuación de movimiento en forma general a principios de la década de 1820. (anuncio se refiere al 30 de septiembre de 1822 [1] , breve publicación en 1823 [2] , publicación completa en 1828 [3] ).

Forma general de la ecuación

En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , tres proyecciones de la ecuación de movimiento de un medio continuo tienen la forma [4]

$\rho \left({\frac {\parcial v_{x}}{\parcial t}}+v_{x}{\frac {\parcial v_{x}}{\parcial x}}+v_{ y}{\frac {\parcial v_{x}}{\parcial y}}+v_{z}{\frac {\parcial v_{x}}{\parcial z}}\right)={\frac {\ parcial p_{xx)){\parcial x))+{\frac {\parcial p_{xy)){\parcial y))+{\frac {\parcial p_{xz)){\parcial z))+\ rho F_{x},$

$\rho \left({\frac {\parcial v_{y}}{\parcial t}}+v_{x}{\frac {\parcial v_{y}}{\parcial x}}+v_{ y}{\frac {\parcial v_{y}}{\parcial y}}+v_{z}{\frac {\parcial v_{y}}{\parcial z}}\right)={\frac {\ parcial p_{yx)){\parcial x))+{\frac {\parcial p_{yy)){\parcial y))+{\frac {\parcial p_{yz)){\parcial z))+\ rho F_{y},$

$\rho \left({\frac {\parcial v_{z}}{\parcial t}}+v_{x}{\frac {\parcial v_{z}}{\parcial x}}+v_{ y}{\frac {\parcial v_{z}}{\parcial y}}+v_{z}{\frac {\parcial v_{z}}{\parcial z}}\right)={\frac {\ parcial p_{zx)){\parcial x))+{\frac {\parcial p_{zy)){\parcial y))+{\frac {\parcial p_{zz)){\parcial z))+\ rho F_{z},$

donde es la densidad del medio continuo, , , son las proyecciones de la velocidad del medio, son las componentes del tensor de esfuerzos , , , son las componentes del vector densidad de masa de las fuerzas volumétricas que actúan sobre el medio continuo (fuerza por unidad de masa). Si el marco de referencia utilizado no es inercial , entonces las fuerzas de inercia deben incluirse en el número de fuerzas del cuerpo . ${\ estilo de visualización \ rho (x, y, z, t)}$ ${\ Displaystyle v_ {x} (x, y, z, t)}$ ${\ Displaystyle v_ {y} (x, y, z, t)}$ $v_{z}(x,y,z,t)$ $p_{{ij}}$ ${\ Displaystyle F_ {x} (x, y, z, t)}$ ${\ Displaystyle F_ {y} (x, y, z, t)}$ ${\ Displaystyle F_ {z} (x, y, z, t)}$

Las expresiones entre paréntesis en el lado izquierdo son proyecciones de aceleración , por lo que, en cierto sentido, la ecuación de movimiento puede considerarse como una generalización de la segunda ley de Newton para un punto material de masa constante.

En un sistema arbitrario de coordenadas curvilíneas, la ecuación de movimiento tiene la forma

$\rho \left({\frac {\parcial v^{i}}{\parcial t}}+v^{k}\nabla _{k}v^{i}\right)=\nabla _ {k}p^{ik}+\rho F^{i},\quad i=1,2,3,$

donde el símbolo denota la derivada covariante con respecto a la coordenada -ésima, y la sumatoria de uno a tres se realiza sobre el índice repetido . ${\ estilo de visualización \ nabla _ {i))$ $i$ $k$

Formas especiales de la ecuación

Si el medio continuo está en reposo (en relación con el sistema de coordenadas utilizado), entonces las ecuaciones de movimiento se convierten en ecuaciones de equilibrio. ${\vec{v}}\equiv 0$

$0={\frac {\parcial p_{xx}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial p_{xy}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial p_{xz }}{\z parcial}}+\rho F_{x},$

$0={\frac {\parcial p_{yx}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial p_{yy}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial p_{yz }}{\z parcial}}+\rho F_{y},$

$0={\frac {\parcial p_{zx}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial p_{zy}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial p_{zz }}{\parcial z}}+\rho F_{z}.$

Los casos particulares de la ecuación de movimiento son

la ecuación de Euler (la ecuación de movimiento de un fluido ideal );
la ecuación de Navier-Stokes (la ecuación de movimiento para un fluido linealmente viscoso );
la ecuación de Navier-Lame (la ecuación de movimiento para pequeñas deformaciones de un medio linealmente elástico ).

Notas

↑ Truesdell K. Ensayos sobre la historia de la mecánica . - M.-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2002. - 316 p. — ISBN 5-93972-192-3 . Archivado el 7 de diciembre de 2013 en Wayback Machine .
↑ Cauchy. Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides, élastiques ou non élastiques // Bulletin de la Société Philomatique. - 1823. Archivado el 7 de diciembre de 2013.
↑ Cauchy. Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non élastique . - 1828. Archivado el 7 de diciembre de 2013.
↑ Sedov L. I. Mecánica de continuos . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 p. Archivado el 28 de noviembre de 2014 en Wayback Machine .