Sistema de coordenadas curvilíneas

El sistema de coordenadas curvilíneas , o coordenadas curvilíneas , es un sistema de coordenadas en el espacio euclidiano ( afín ), o en la región contenida en él. Las coordenadas curvilíneas no se oponen a las rectilíneas , siendo estas últimas un caso especial de las primeras. Suelen aplicarse en el plano ( n =2) y en el espacio ( n =3); el número de coordenadas es igual a la dimensión del espacio n . El ejemplo más conocido de un sistema de coordenadas curvilíneas son las coordenadas polares en un plano.

Propiedades locales de coordenadas curvilíneas

Al considerar las coordenadas curvilíneas en esta sección, supondremos que estamos considerando un espacio tridimensional ( n =3) equipado con coordenadas cartesianas x , y , z . El caso de otras dimensiones difiere solo en el número de coordenadas.

En el caso de un espacio euclidiano , el tensor métrico , también llamado cuadrado del arco diferencial , tendrá en estas coordenadas la forma correspondiente a la matriz identidad:

dS^{2}={\mathbf {dx}}^{2}+{\mathbf {dy}}^{2}+{\mathbf {dz}}^{2}.

Caso general

Sean , , algunas coordenadas curvilíneas, que consideraremos funciones suaves dadas de x , y , z . Para que las tres funciones , , sirvan como coordenadas en alguna región del espacio, es necesaria la existencia de una aplicación inversa: $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $q_{3}$

\left\{{\begin{matriz}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _ {2}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{ 2},\;q_{3}\derecha),\end{matriz}}\derecha.

donde son funciones definidas en algún dominio de conjuntos de coordenadas. $\varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}$ $\izquierda(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\derecha)$

Base local y análisis tensorial

En el cálculo tensorial, puede ingresar los vectores de base locales: , donde son los orts del sistema de coordenadas cartesianas, es la matriz de Jacobi , las coordenadas en el sistema cartesiano, son las coordenadas curvilíneas de entrada. Es fácil ver que las coordenadas curvilíneas generalmente cambian de un punto a otro. Indiquemos las fórmulas para la conexión entre coordenadas curvilíneas y cartesianas: donde , donde E es la matriz identidad. El producto de dos vectores de base local forma una matriz métrica : ${\mathbf {R_{j))}={\frac {d{\mathbf r}}{dy^{j}}}={\frac {dx^{i}}{dy^{j}}}{ \mathbf e}_{i}=Q_{j}^{i}{\mathbf e}_{i}$ ${\mathbf e}_{i}$ $Q_{j}^{yo}$ $x^{yo}$ $y^{yo}$

${\mathbf R}_{i}=Q_{i}^{j}{\mathbf e}_{j}$
${\mathbf e}_{i}=P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$ $P_{i}^{j}Q_{j}^{i}=E$

${\mathbf R}_{i}{\mathbf R}_{j}=Q_{i}^{n}Q_{j}^{m}d_{{nm))=g_{{ij))$
${\mathbf R}^{i}{\mathbf R}^{j}=P_{n}^{i}P_{m}^{j}d^{{nm))=g^{{ij))$
$g_{{ij}}g^{{jk}}=g^{{jk}}g_{{ij}}=d_{i}^{k}$ $d_{{ij}},d^{{ij}},d_{j}^{i}$
${\matemáticas T}$
${\mathbf T}=T^{{i_{1}...i_{n))}{\mathbf e}_{i}\otimes ...\otimes {\mathbf e}_{n}=T ^{{i_{1}...i_{n}}}P_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}...P_{{i_{n}}}^{{j_ {n}}}{\mathbf R}_{{j_{1}}}\otimes ...\otimes {\mathbf R}_{{j_{n}}}$

${\mathbf v}=v^{i}{\mathbf e}_{i}=v^{i}P_{i}^{j}{\mathbf R}_{j}$

Coordenadas curvilíneas ortogonales

En el espacio euclidiano, el uso de coordenadas curvilíneas ortogonales es de particular importancia , ya que las fórmulas relacionadas con la longitud y los ángulos parecen más simples en coordenadas ortogonales que en el caso general. Esto se debe a que la matriz métrica en sistemas con base ortonormal será diagonal, lo que simplificará mucho los cálculos.
Un ejemplo de tales sistemas es un sistema esférico en ${\ matemáticas {R}}^{3}$

Cuotas poco convincentes

Escribimos el arco diferencial en coordenadas curvilíneas en la forma (usando la regla de la suma de Einstein ):

dS^{2}=\left({\frac {\parcial \varphi _{1)){\parcial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+ \left({\frac {\parcial \varphi _{2)){\parcial q_{i))}{\mathbf {dq))_{i}\right)^{2}+\left({\frac {\parcial \varphi _{3}}{\parcial q_{i}}}{\mathbf {dq}}_{i}\right)^{2},~i=1,2,3

Teniendo en cuenta la ortogonalidad de los sistemas de coordenadas ( at ), esta expresión se puede reescribir como ${\mathbf {dq}}_{i}\cdot {\mathbf {dq}}_{j}=0$ $yo \ ne j$

dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{ 3}^{2},

dónde

H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\parcial \varphi _{1}}{\parcial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\ parcial \varphi _{2}}{\parcial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\parcial \varphi _{3}}{\parcial q_{i}}} \right)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3

Los valores positivos que dependen de un punto en el espacio se denominan coeficientes de Lame o factores de escala. Los coeficientes de Lame muestran cuántas unidades de longitud están contenidas en la unidad de coordenadas de un punto dado y se utilizan para transformar vectores al pasar de un sistema de coordenadas a otro. $Hola\$

El tensor de la métrica de Riemann, escrito en coordenadas , es una matriz diagonal , en cuya diagonal se encuentran los cuadrados de los coeficientes de Lamé: ${q_{yo}}$

g_{{ii}}={H_{i}}^{2}

g_{{ij}}=0

para yo ≠ j

, eso es

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}{H_{1}}^{2}&0&0\\0&{H_{2}}^{2}&0\\0&0&{H_{3}}^{2 }\end{matrix}}

Ejemplos

Coordenadas polares ( n =2)

Las coordenadas polares en el plano incluyen la distancia r al polo (origen) y la dirección (ángulo) φ.

Conexión de coordenadas polares con cartesianas:

\left\{{\begin{matriz}x=r\cos {\varphi};\\y=r\sin {\varphi}.\end{matriz}}\right.

Coeficientes de cojo:

{\begin{matriz}H_{r}=1;\\H_{\varphi}=r.\end{matriz))

Diferencial de arco:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi^{2}.

En el origen, la función φ no está definida. Si la coordenada φ no se considera un número, sino un ángulo (un punto en un círculo unitario ), entonces las coordenadas polares forman un sistema de coordenadas en el área obtenida de todo el plano al eliminar el punto de origen. Sin embargo, si φ se considera un número, entonces en el área designada será multivaluado , y la construcción de un sistema de coordenadas estrictamente en el sentido matemático es posible solo en un área simplemente conectada que no incluye el origen de coordenadas, para ejemplo, en un plano sin un rayo .

Coordenadas cilíndricas ( n =3)

Las coordenadas cilíndricas son una generalización trivial de las coordenadas polares al caso del espacio tridimensional al agregar una tercera coordenada z . Relación de coordenadas cilíndricas con cartesianas:

{\begin{casos}&x=r\cos {\varphi };\\&y=r\sin {\varphi };\\&z=z.\end{casos))

Coeficientes de cojo:

{\begin{matriz}H_{r}=1;\\H_{\varphi}=r;\\H_{z}=1.\end{matriz))

Diferencial de arco:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Coordenadas esféricas ( n =3)

Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadas de latitud y longitud en la esfera unitaria . Conexión de coordenadas esféricas con cartesianas:

\left\{{\begin{matriz}x=r\sin {\theta }\cos {\varphi };\\y=r\sin {\theta }\sin {\varphi };\\z=r\ cos {\theta}.\end{matriz}}\right.

Coeficientes de cojo:

{\begin{matriz}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{matriz))

Diferencial de arco:

dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2 }.

Las coordenadas esféricas, como las coordenadas cilíndricas, no funcionan en el eje z { x =0, y =0}, ya que la coordenada φ no está definida allí.

Varias coordenadas exóticas en el plano ( n =2) y sus generalizaciones

Ortogonal:

Coordenadas elípticas - ampliable a 3 dimensiones
Coordenadas parabólicas - ampliable a 3 dimensiones
Coordenadas bipolares - ampliable a 3 dimensiones
…

Otros:

…

Coordenadas curvilíneas en términos de geometría diferencial

Las coordenadas curvilíneas definidas en varias regiones del espacio euclidiano (afín) pueden considerarse como una aplicación al espacio del concepto de variedad suave . Es decir, cómo construir un atlas de mapas .

Literatura

Korn G., Korn T. Manual de matemáticas (para científicos e ingenieros). - M. : Nauka, 1974. - 832 p.

Sistemas coordinados
Nombre de las coordenadas	Abscisa ordenada Apliques
Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
coordenadas 2D	Coordenadas biangulares Coordenadas bicéntricas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas polares Coordenadas bipolares Coordenadas parabólicas Coordenadas elípticas Coordenadas tetracíclicas Coordenadas trilineales
coordenadas 3D	Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas bisféricas Coordenadas toroidales Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas bicilíndricas Coordenadas elipsoidales Coordenadas cónicas Coordenadas pentasféricas Sistema de coordenadas dipolares
$norte$ -coordenadas dimensionales	Coordenadas cartesianas Coordenadas afines Coordenadas proyectivas Coordenadas de Plucker coordenadas baricéntricas
Coordenadas físicas	Coordenadas de Rindler Coordenadas de nacimiento Sistema de coordenadas celestes Coordenadas geográficas Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico