Fórmula de larmor

La fórmula de Larmor se utiliza para calcular la potencia total emitida por una carga puntual no relativista a medida que acelera . Fue obtenido por primera vez por Joseph Larmor en 1897 [1] en el contexto de la teoría ondulatoria de la luz .

Cuando se acelera cualquier partícula cargada (como un electrón , un protón o un ion ), la energía se irradia en forma de ondas electromagnéticas . Para velocidades de partículas que son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz , la potencia radiada total viene dada por la fórmula de Larmor:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ fracción {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

( unidades SI )

{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3))))

( unidades CGS )

donde o es la aceleración, es la carga, es la velocidad de la luz, es la constante eléctrica . La generalización relativista viene dada por los potenciales de Lienard-Wiechert . ${\ estilo de visualización {\ punto {v))}$ $a$ $q$ $C$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {0}}$

En cualquier sistema de unidades, la potencia radiada por un electrón se puede expresar en términos del radio clásico del electrón y la masa del electrón como:

P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

Una consecuencia es que un electrón que orbita alrededor del núcleo, como en el modelo de Bohr , debe perder energía, caer sobre el núcleo y el átomo debe colapsar. Este enigma no se resolvió hasta que se construyó la mecánica cuántica .

Conclusión

Usando la fórmula potencial de Lienard-Wiechert , los campos eléctrico y magnético de una carga en movimiento se pueden escribir como:

\mathbf {E} (\mathbf {r},t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta))}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}

\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,

donde es la velocidad de la carga dividida por , es la aceleración de la carga dividida por c , es el vector unitario en la dirección , es el módulo de la diferencia del radio vector , es el vector del radio de carga y . Los términos de la derecha se evalúan en tiempo de retraso . ${\ estilo de visualización {\ símbolo de negrita {\ beta}}}$ $C$ ${\ estilo de visualización {\ punto {\ símbolo de negrita {\ beta}}}}$ $\matemáticas {n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}}$ $R$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|$ $\mathbf {r} _{0}$ ${\ estilo de visualización \ gamma = (1- \ beta ^ {2}) ^ {-1/2))$ $t_{\text{r}}=tR/c$

El lado derecho es la suma de los campos eléctricos asociados con la velocidad y la aceleración de una partícula cargada. El primer término depende solo de , mientras que el segundo depende de ambos y del ángulo entre ellos. Dado que el primer término es proporcional a , su valor absoluto disminuye muy rápidamente con la distancia. Por otro lado, el segundo término es proporcional a , lo que significa que su valor absoluto disminuye mucho más lentamente con la distancia. Debido a esto, el segundo término es el campo de radiación y es responsable de la mayor parte de la pérdida de energía de la carga acelerada. ${\ estilo de visualización {\ símbolo de negrita {\ beta}}}$ ${\ estilo de visualización {\ símbolo de negrita {\ beta}}}$ ${\ estilo de visualización {\ punto {\ símbolo de negrita {\ beta}}}}$ ${\ estilo de visualización 1/R^{2}}$ $1/R$

Podemos encontrar la densidad de flujo de energía de la radiación calculando el vector de Poynting :

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E}_{\text{a}}\times \mathbf {B}_{\text{a}},

donde el subíndice "a" enfatiza que estamos tomando solo el segundo término de la fórmula de Lienard-Wiechert. Bajo el supuesto de que la partícula está en reposo en el tiempo [2] , tenemos: $t_{\text{r))$

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ punto {\boldsymbol {\beta }}}}}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .

Si introducimos - el ángulo entre la aceleración y el vector de observación y la aceleración , entonces la potencia radiada por unidad de ángulo sólido es igual a $\ theta$ $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta ))}c$

d PAGS d Ω = q 2 cuatro π C pecado 2 ⁡ ( θ ) a 2 C 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.}

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.

La potencia radiada total se encuentra integrando esta cantidad sobre todos los ángulos sólidos (es decir, sobre y ). Esto da $\ theta$ $\fi$

PAGS = 2 3 q 2 a 2 C 3 , {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},

que es la fórmula de Larmor para una carga acelerada no relativista. Relaciona la potencia emitida por una partícula con su aceleración. De él se ve claramente que cuanto más rápido se acelera la carga, mayor será la radiación. Esto podría esperarse, ya que el campo de radiación depende de la aceleración.

Generalización relativista

Forma covariante

La fórmula no relativista de Larmor escrita en términos de cantidad de movimiento p tiene la forma (en unidades CGS) [3]

PAGS = 2 3 q 2 metro 2 C 3 | pags ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}} } } |^{2}.

Se puede demostrar que la potencia P es invariante de Lorentz . Por lo tanto, cualquier generalización relativista de la fórmula de Larmor debe relacionar P con alguna otra cantidad invariante de Lorentz. que aparece en la fórmula no relativista sugiere que la fórmula relativistamente correcta debe incluir el 4-escalar obtenido al tomar el producto escalar de la 4-aceleración a μ = dp μ / d τ consigo mismo (aquí p μ = (γ mc , γ m v ) − 4 impulsos ). Correcta generalización relativista de la fórmula de Larmor (en unidades CGS) $|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{ d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Se puede demostrar que esta convolución está determinada por la expresión

d pags m d τ d pags m d τ = β 2 ( d pags d τ ) 2 − ( d pags d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},} ${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},$

y por tanto, en el límite β ≪ 1 , se reduce a , reproduciendo así el caso no relativista. $-|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}$

Forma no covariante

La convolución anterior también se puede escribir en términos de β y su derivada temporal. Entonces la generalización relativista de la fórmula de Larmor (en unidades cgs)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\ boldsymbol {\beta }}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

Este es el resultado de Lienard , que se obtuvo por primera vez en 1898. significa que cuando el factor de Lorentz está muy cerca de la unidad (es decir , ), la radiación emitida por la partícula es despreciable. Sin embargo, a medida que crece la radiación, también lo hace, ya que la partícula pierde su energía en forma de ondas electromagnéticas. Además, cuando la aceleración y la velocidad son ortogonales, la potencia disminuye en , es decir, el coeficiente se convierte en . Cuanto más rápido se mueve la partícula, mayor se vuelve esta contracción. ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {6}}$ ${\ estilo de texto \ gamma = 1/{\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}$ ${\ estilo de visualización \ beta \ ll 1}$ ${\ estilo de visualización \ beta \ flecha derecha 1}$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {6}}$ ${\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2))$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {6}}$ ${\ estilo de visualización \ gamma ^ {4}}$

Notas

↑ Larmor J (1897). “LXIII.Sobre la teoría de la influencia magnética en los espectros; y sobre la radiación de los iones en movimiento” . Revista filosófica . 5. 44 (271): 503-512. DOI : 10.1080/14786449708621095 . Archivado desde el original el 24 de enero de 2022 . Consultado el 24 de enero de 2022 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )La fórmula se menciona en el texto de la última página.
↑ el caso cuando es más difícil. Se revisa, por ejemplo, en Griffiths, 2017 . $\beta \left(t_{\text{r}}\right)\neq 0$
↑ Jackson, 1965 .

Literatura

J. Larmor, "Sobre una teoría dinámica del medio eléctrico y luminífero", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205-300 (Tercero y último de una serie de artículos con el mismo título).
J.Jackson. Electrodinámica clásica / I. G. Nakhimson. - Moscú, 1st Riga lane, 2: Mir , 1965. - S. 212, 510.
Misner, Charles. Gravitación / Misner, Charles, Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald. - San Francisco: WH Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .
R. P. Feynman . Feynman Lectures on Gravitation / R. P. Feynman , F. B. Moringo, W. G. Wagner. - Addison-Wesley, 1995. - ISBN 0-201-62734-5 .
Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica . — 4to. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2017. - ISBN 978-1-108-42041-9 . -doi : 10.1017/ 9781108333511 .