Fórmula de Leibniz (derivada de un producto)

La fórmula de Leibniz para la -ésima derivada de un producto de dos funciones es una generalización de la regla para derivar un producto (y una razón) de dos funciones al caso de diferenciación -veces. $norte$ $norte$

Sean las funciones y funciones diferenciables por tiempos, entonces $f(z)$ $g(z)$ $norte$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

donde son los coeficientes binomiales .

C_{n}^{k}={n \elegir k}={{n!} \over {k!\;(nk)!}}

Ejemplos

Cuando , se obtiene la conocida regla para la derivada de un producto: $n=1$

(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.

En el caso , por ejemplo, tenemos: $n=2$

(f\cdot g)''=\sum \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{ {(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.

En el caso , por ejemplo, tenemos: $n=3$

(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k )}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.

En el caso , por ejemplo, tenemos: $n=4$

(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^ {(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)} }+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.

Prueba y generalización

La demostración de la fórmula se realiza por inducción utilizando la regla del producto . En una notación de índice múltiple, la fórmula se puede escribir en una forma más general:

\parcial ^{\alpha }(fg)=\sum _({\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\parcial ^{{\ alfa -\beta }}f)(\parcial ^{{\beta }}g).

Esta fórmula se puede utilizar para obtener una expresión para la composición de operadores diferenciales. De hecho, sean P y Q operadores diferenciales (con coeficientes diferenciables un número suficiente de veces) y . Si R también es un operador diferencial, entonces se cumple la igualdad: $R=P\circ Q$

R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).

El cálculo directo da:

R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\parcial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\parcial \sobre \parcial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).

Esta fórmula también se conoce como fórmula de Leibniz .

Literatura

Shipachev VS Fundamentos de matemáticas superiores: libro de texto para escuelas secundarias / Ed. académico A. N. Tikhonova. - M. : Escuela Superior, 1989 . — 479 pág. - ISBN 5-06-000048-6 .
Zorich V. A. Análisis matemático. Parte 1. - 2-e. - M. : FAZIS, 1997 . — 554 pág. — ISBN 5-7036-0031-6 .