Energía Willmore

La energía de Willmore es una medida numérica de la desviación de una superficie dada de una esfera redonda . Matemáticamente , la energía de Willmore de una superficie cerrada lisa incrustada en un espacio euclidiano tridimensional se define como la integral del cuadrado de la curvatura media menos la curvatura gaussiana . El término lleva el nombre del geómetra inglés Thomas Willmore .

Definición

En términos simbólicos, la energía de Willmore de la superficie S es

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA

donde es la curvatura media , es la curvatura gaussiana y dA es el área superficial de S. Para una superficie cerrada, utilizando la fórmula de Gauss-Bonnet , la integral de curvatura gaussiana se puede calcular en términos de la característica de Euler de la superficie $H$ $k$ $\ chi (S)$

{\ estilo de visualización \ int _ {S} K \, dA = 2 \ pi \ chi (S),}

que es topológicamente invariante y, por lo tanto, no depende de una incrustación particular en . Entonces la energía de Willmore se puede expresar como $\mathbb{R} ^{3}$

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)

Una fórmula alternativa pero equivalente es

{\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA

donde y son las curvaturas principales de la superficie. $k_{1}$ $k_{2}$

Propiedades

La energía de Willmore siempre es mayor o igual a cero. Una esfera redonda tiene cero energía de Willmore.

La energía de Willmore se puede ver como un funcional en el espacio de incrustaciones en un espacio dado en el sentido del cálculo de variaciones, y se puede cambiar la incrustación de una superficie sin cambiar topológicamente.

Puntos críticos

El principal problema en el cálculo de variaciones es la búsqueda de los puntos críticos y el mínimo del funcional.

Para un espacio topológico dado, esto equivale a encontrar los puntos críticos de la función

{\ estilo de visualización \ int _ {S} H ^ {2} \, dA}

ya que la característica de Euler es constante.

Se puede encontrar un mínimo (local) para la energía de Willmore utilizando el descenso de gradiente , que en este contexto se denomina flujo de Willmore.

Para una esfera incrustada en un espacio tridimensional, Bryant [1] clasificó los puntos críticos : todos son transformaciones conformes de superficies mínimas , una esfera redonda es un mínimo y todos los demás valores críticos son números enteros mayores o iguales a 4 . Se llaman superficies de Willmore. $\Pi$

Arroyo de Willmore

El flujo de Willmore es el flujo geométrico correspondiente a la energía de Willmore. Es - flujo de gradiente . $L^{2}$

e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int_{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A

donde H significa la curvatura media de la variedad . ${\ matemáticas {M}}$

Las líneas de flujo satisfacen la ecuación diferencial:

\parcial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,

donde se encuentra en la superficie. $X$

Este flujo conduce a un problema evolutivo en la geometría diferencial : la superficie evoluciona en el tiempo, siguiendo la disminución más pronunciada de energía. Al igual que la difusión superficial, el flujo es un flujo de cuarto orden, ya que la variación de energía contiene una cuarta derivada. ${\ matemáticas {M}}$

Aplicaciones

Las membranas celulares tienden a la posición con mínima energía de Willmore [2] .
La energía de Willmore se utiliza para construir una clase de eversión de esfera óptima , eversión minimax .

Véase también

La hipótesis de Willmore

Notas

↑ Bryant, 1984 , pág. 23–53.
↑ Müller, Roger, 2014 , pág. 109–139.

Literatura

Stefan Muller, Matthias Roger. Estructuras confinadas de mínima energía de flexión // Revista de Geometría Diferencial. - 2014. - mayo ( vol. 97 , número 1 ). doi : 10.4310 /jdg/1404912105 .
Willmore TJ Un estudio sobre las inmersiones de Willmore // Geometría y topología de subvariedades, IV (Lovaina, 1991). River Edge, Nueva Jersey: World Scientific, 1992, págs. 11–16.
Roberto L. Bryant. Un teorema de dualidad para las superficies de Willmore // Journal of Differential Geometry . - 1984. - T. 20 , núm. 1 . — Pág. 23–53 .