Programa Erlangen
El Programa de Erlangen es un discurso del matemático alemán de 23 años Felix Klein en la Universidad de Erlangen (octubre de 1872 ), en el que propuso un enfoque algebraico general de varias teorías geométricas y esbozó un camino prometedor para su desarrollo. El informe estaba relacionado con el procedimiento para confirmar a Klein como profesor y se publicó en el mismo año. La primera traducción rusa apareció en 1895 .
En el original, el informe de Klein se llamó "Revisión comparativa de las últimas investigaciones geométricas" (en alemán: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen ) [1] , pero entró en la historia de la ciencia con el nombre abreviado de " Programa Erlangen ". La influencia de este programa en el desarrollo posterior de la geometría fue excepcionalmente grande. El descubrimiento de Descartes se repitió a un nuevo nivel : la algebrización de la geometría permitió obtener resultados profundos, extremadamente difíciles o completamente inalcanzables para los instrumentos antiguos.
Resumen
A mediados del siglo XIX, la geometría se dividía en muchas secciones diferentes: euclidiana , esférica , hiperbólica , proyectiva , afín , conforme , riemanniana , multidimensional, compleja, etc. se les añadió geometría y topología .
A Klein se le ocurrió la idea de una clasificación algebraica de varias ramas de la geometría de acuerdo con aquellas clases de transformaciones que no son esenciales para esta geometría. Más precisamente, una sección de la geometría difiere de otra en que corresponden a diferentes grupos de transformaciones espaciales, y los objetos de estudio son las invariantes de tales transformaciones [2] .
Por ejemplo, la geometría euclidiana clásica estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos que se conservan durante los movimientos sin deformarse; corresponde a un grupo que contiene rotaciones , traslaciones y sus combinaciones. La geometría proyectiva puede estudiar secciones cónicas , pero no se ocupa de círculos o ángulos porque los círculos y los ángulos no se conservan en las transformaciones proyectivas . La topología estudia las invariantes de transformaciones continuas arbitrarias (Klein notó esto incluso antes de que naciera la topología). Al estudiar las propiedades algebraicas de los grupos de transformación, podemos descubrir nuevas propiedades profundas de la geometría correspondiente, y también demostrar más fácilmente las antiguas. El enfoque de Klein unificó las diversas geometrías y sus métodos y aclaró sus diferencias. Fuera de este esquema, sólo quedó la geometría riemanniana ; para incluirlo en el sistema general, fue necesario en la década de 1920 generalizar significativamente el enfoque de Klein [3] .
Un ejemplo de una prueba simple de que las medianas de cualquier triángulo se cortan en un punto. La mediana es un invariante afín ; si en un triángulo equilátero las medianas se cortan en un punto, entonces en cualquier otro será cierto, porque cualquier triángulo puede transformarse en un triángulo equilátero y viceversa mediante una transformación afín .
Después de la primera algebrización de la geometría por Descartes , es decir, en la geometría analítica , hubo un inconveniente: a menudo era necesario probar por separado la naturaleza geométrica de los resultados, es decir, su independencia del sistema de coordenadas. Una ventaja adicional del enfoque de Klein fue que las invariantes resultantes, por el significado mismo de su definición, no dependen del sistema de coordenadas.
Aplicaciones
Con base en las ideas presentadas, Klein mostró en su informe que la geometría de Lobachevsky es un espacio de curvatura negativa constante y llamó la atención sobre la conexión entre el modelo proyectivo propuesto por Beltrami y el grupo proyectivo.
El enfoque de Klein resultó ser aplicable a las geometrías más abstractas: multidimensionales, no euclidianas , no arquimedianas , etc. A principios del siglo XX, Isai Schur , Emmy Noether , Eli Cartan y otros matemáticos desarrollaron una teoría general de grupos . Representaciones y teoría de la invariante . Estos estudios no solo enriquecieron significativamente la geometría, sino que también resultaron útiles para la física. Hermann Minkowski en 1905 incluyó la teoría de la relatividad en el esquema de Klein , mostrando que desde un punto de vista matemático es la teoría de los invariantes del grupo de Poincaré , actuando en un espacio-tiempo tetradimensional . Se necesitaba un enfoque similar en la teoría de las partículas elementales , la teoría cuántica y otras teorías físicas [4] .
Texto en traducción rusa
- Klein F. Revisión comparativa de las últimas investigaciones geométricas ("Programa Erlangen") // Sobre los fundamentos de la geometría. Colección de obras clásicas sobre la geometría de Lobachevsky y el desarrollo de sus ideas, Moscú: GITTL, 1956, p. 399-434.
Literatura
- Erlangen_programa en TSB .
- Vizgin V.P. Sobre la historia del "programa Erlangen" por F. Klein // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1973. - Nº 18 . - S. 218-248 .
- Versión actualizada: programa Vizgin V.P. Erlangen y física. M.: Nauka, 1975. 111 págs.
- Klein F. Matemáticas elementales desde el punto de vista de los superiores, trans. del alemán., 2a ed., volumen 2, M. - L .: Estado. tech.-theor. editorial, 1934.
- Prasolov V. V. , Tikhomirov V. M. Geometría. M.: MTSNMO , 1997, 352 p.
Enlaces
- Rozov N. Kh. Felix Klein y su programa de Erlangen.
- Programa Smirnov S. G. Erlangen: antes y ahora Copia de archivo del 28 de diciembre de 2010 en Wayback Machine (en el 125 aniversario del programa Klein). Notas científicas del Instituto de Informatización de la Educación (IIO RAO), N° 2, 1998.
Notas
- ↑ Programa Erlangen en alemán .
- ↑ Las bases de la teoría de grupos en ese momento ya habían sido creadas por Evariste Galois y Camille Jordan .
- ↑ Vizgin V.P., 1973 , p. 223.
- ↑ Vizgin V.P., 1973 , p. 218, 245-246.
Enlaces
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