Distribución eficiente de Pareto sin envidia

La eficiencia y la equidad son los dos objetivos principales de la economía del bienestar . Dado un conjunto de recursos y un conjunto de agentes, el objetivo es asignar recursos entre los agentes de tal manera que sea eficiente en el sentido de Pareto ( PE) y libre de envidia ( EF) . El objetivo fue identificado por primera vez por David Schmeidler y Menahem Yaari [1] . Posteriormente, se comprobó la existencia de tales distribuciones para diversas condiciones.

Existencia de la distribución STEP

Supondremos que cada agente tiene una relación de preferencia sobre el conjunto de todos los conjuntos de productos. Las preferencias son completas, transitivas y cerradas. De manera equivalente, cada relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad continua [2] .

Preferencias débilmente convexas

Teorema 1 (Varian) [3] : Si las preferencias de todos los agentes son convexas y estrictamente monótonas , entonces existe una distribución libre de envidia eficiente en el sentido de Pareto (distribución EPBZ).

Prueba : La prueba se basa en la existencia de un equilibrio competitivo con ingresos iguales. Suponga que todos los recursos de la economía se dividen por igual entre los agentes. Es decir, si el fondo total de la economía es igual a , cada agente recibe un fondo inicial de . $mi$ ${\ estilo de visualización i \ en 1, \ puntos, n:}$ $E_{i}=E/n$

Dado que las preferencias son convexas , del modelo de Arrow-Debreu se deduce que existe un equilibrio competitivo. Es decir, existe un vector de precios y una partición del conjunto , para lo cual $PAGS$ $X$

(CE) Todos los agentes maximizan la utilidad según el presupuesto. Es decir, si , entonces . ${\displaystyle P\cdot Y\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\ Displaystyle Y \ preceq _ {i} X_ {i}}$
(EI) Todos los agentes tienen la misma renta a precios de equilibrio: para todos . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j))$

Con tal distribución, siempre no hay envidia. Prueba: por condición (EI) para cualquier . Por tanto, por condición (CE) . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{j}\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\ Displaystyle X_ {j} \ preceq _ {i} X_ {i}}$

Debido a que las preferencias son monótonas , cualquier distribución de este tipo también es eficiente en el sentido de Pareto, ya que la monotonicidad implica insaturación local . Ver Teoremas fundamentales de la economía del bienestar .

Ejemplos

Todos los ejemplos usan dos bienes , x e y, y dos agentes, Alice y Bob . En todos los ejemplos, las utilidades son débilmente convexas y continuas.

A. Muchas asignaciones de EHP: El fondo total es (4.4). Alice y Bob tienen funciones de utilidad lineales representadas por sustitutos :

u_{A}(x,y)=2x+y

u_{B}(x,y)=x+2y

Tenga en cuenta que las utilidades son débilmente convexas y estrictamente monótonas. Hay varias distribuciones ESTP. Si Alice obtiene al menos 3 unidades del producto x, entonces su utilidad es 6 y no está celosa de Bob. De manera similar, si Bob obtiene al menos 3 unidades del producto y, no está celoso de Alice. Así, la distribución [(3,0);(1,4)] es una EFSP con utilidades (6,9). Asimismo, las distribuciones [(4,0);(0,4)] y [(4,0.5);(0,3.5)] son EFFI. Por otro lado, la distribución [(0,0);(4,4)] es eficiente en el sentido de Pareto, pero la envidia está presente (Alice está celosa de Bob). Con la distribución [(2,2);(2,2)], no hay envidia, pero no es eficiente en el sentido de Pareto (las utilidades son iguales a (6,6), pero se pueden mejorar, por ejemplo, a ( 8,8)).

B. Esencialmente una única asignación STEP: Los fondos totales son iguales a (4.2). Alice y Bob tienen funciones de utilidad de Leontief que representan bienes complementarios :

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

Tenga en cuenta que las utilidades son débilmente convexas y solo débilmente monótonas. Todavía hay una distribución STEP. La misma distribución [(2,1);(2,1)] es el EVAP con el vector de utilidad (1,1). La ausencia de envidia es evidente (cualquier distribución idéntica conduce a la ausencia de envidia). Con respecto a la eficiencia de Pareto, tenga en cuenta que ambos agentes desean solo y, por lo que la única forma de que un agente obtenga utilidad es tomar algo del otro agente, pero esto reducirá la utilidad para el otro agente. Aunque existen otras distribuciones EOPS, como [(1.5,1);(2.5,1)], todas tienen el mismo vector de utilidad (1,1), por lo que no hay forma de que ambos agentes obtengan más de 1 [ 4] .

Condiciones topológicas en el espacio de distribuciones efectivas

Las distribuciones EPBZ existen incluso si las preferencias de los agentes no son convexas. Hay algunas condiciones suficientes relacionadas con la forma del conjunto de distribuciones correspondientes a configuraciones particulares de utilidad. Dado un vector de utilidades u, defina A(u) = el conjunto de todas las asignaciones para las cuales las utilidades son iguales a u. A continuación se presentan varios teoremas propuestos por diferentes autores:

Teorema 2 (Varian) [5] : Suponga que todas las preferencias de todos los agentes son estrictamente monótonas . Si, para cualquier configuración de utilidad u débilmente eficiente en el sentido de Pareto , el conjunto A(u) es singleton (es decir, no hay dos distribuciones débilmente eficientes en el sentido de Pareto de modo que todos los agentes no distingan entre ellas), entonces existe una distribución EPBZ.

La demostración utiliza el lema de Knaster-Kuravtosky-Mazurkiewicz .

Nota : Las condiciones en el Teorema 1 y el Teorema 2 son independientes, ninguna de ellas se sigue de la otra. Sin embargo, ambos se derivan de la estricta convexidad de las preferencias . Es obvio que la convexidad débil se sigue de la convexidad estricta (Teorema 1). Para ver que de él se sigue la condición del teorema 2, supongamos que hay dos distribuciones x e y diferentes con la misma configuración de utilidad u. Definamos z = x/2+y/2. Por estricta convexidad, todos los agentes prefieren fuertemente z sobre x e y. Por lo tanto, x e y no pueden ser débilmente eficientes en el sentido de Pareto.

Teorema 3 (Svensson) [6] : Si las preferencias de todos los agentes son estrictamente monótonas y para cualquier utilidad Pareto-eficiente u el conjunto A(u) es convexo, entonces existe una distribución EPBZ.

La demostración utiliza el teorema del punto fijo de Kakutani .

Nota : Si las preferencias de todos los agentes son convexas (como en el Teorema 1), entonces A(u) también será convexa. Además, si A(u) consta de un elemento (como en el Teorema 2), entonces obviamente también es convexo. Por lo tanto, el teorema de Svensson es más general que los dos teoremas de Varian.

Teorema 4 (Diamantaras) [7] : Si las preferencias de todos los agentes son estrictamente monótonas y para cualquier vector de utilidad Pareto-eficiente u el conjunto A(u) es contraible (puede contraerse continuamente hasta un punto), entonces existe una distribución EPBZ .

La demostración utiliza el teorema del punto fijo de Eilenberg y Montgomery [8] .

Nota: Todo conjunto convexo es contráctil, por lo que el teorema de Diamantaras es más general que los tres anteriores.

Sigma-optimidad

Svensson probó otra condición suficiente para la existencia de distribuciones EPBZ. Dejemos que todas las preferencias estén representadas de nuevo por funciones de utilidad continuas. Además, todas las funciones de utilidad son continuamente diferenciables en el interior del espacio de consumo.

El concepto principal es sigma-optimalidad . Supongamos que creamos para cada agente k copias con las mismas preferencias. Sea X la distribución en la economía original. Sea Xk una distribución en la k-ésima copia, donde todas las copias del mismo agente reciben el mismo conjunto de beneficios que el agente original X. La distribución de X se llama sigma-óptima si para cada k la distribución de Xk es Pareto óptima.

Lema [9] : Una distribución es sigma-óptima si y solo si está en equilibrio bajo competencia .

Teorema 5 (Svensson) [10] : Si todas las distribuciones óptimas de Pareto son sigma-óptimas, entonces existen distribuciones EPBZ.

Crecimiento de ingresos adicionales

Las distribuciones STEP pueden no existir incluso si todas las preferencias son convexas si hay producción y la tecnología tiene ingresos incrementales crecientes.

Proposición 6 (Vohra) [11] : Hay economías en las que todas las preferencias son continuas, estrictamente monótonas y convexas, la única fuente de no convexidad en la tecnología son los precios fijos, y no existe una distribución STEP para ellas.

Así, la presencia de ingresos adicionales crecientes representa un conflicto fundamental entre la eficiencia y la ausencia de envidia.

Sin embargo, la ausencia de envidia puede debilitarse de la siguiente manera. Una asignación X se define como esencialmente libre de envidia ( EEF ) si, para cualquier agente i , existe una asignación factible Yi con las mismas utilidades (todos los agentes no ven diferencia entre X y Yi) en la que el agente i no envidia a nadie. Es obvio que cualquier distribución sin envidia es PBZ, ya que podemos tomar X como Yi para cualquier agente i.

Teorema 7 (Vohra) [11] : Suponga que todas las preferencias de los agentes son estrictamente monótonas y están representadas por funciones de utilidad continuas. Entonces hay una distribución eficiente de Pareto, en su mayoría sin envidia.

Inexistencia de distribuciones EPBZ

Preferencias no convexas

Las distribuciones EPBZ pueden no existir incluso sin producción si las preferencias no son convexas.

Como ejemplo, suponga que el fondo total es (4,2), con Alice y Bob teniendo las mismas funciones de utilidad cóncavas:

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

Con la misma distribución [(2,1);(2,1)] no hay envidia, y el vector de utilidad es igual a (2,2). Además, cualquier asignación sin envidia debe dar a ambos agentes la misma utilidad (dado que tienen la misma función de utilidad) y estas utilidades no deben exceder de 2. Sin embargo, ninguna asignación de este tipo es eficiente en el sentido de Pareto, ya que está dominada en el sentido de Pareto por la distribución [( 4 ,0);(0,2)], cuyo vector de utilidad es igual a (4,2).

No hay distribución, incluso si reducimos la falta de envidia a la ausencia de dominio : ningún agente obtiene más de cada bien que el otro agente.

Proposición 8 (Maniquet) [12] : Hay economías de 2 productos y 3 agentes con funciones de utilidad estrictamente monótonas, continuas e incluso diferenciables en las que domina cualquier distribución eficiente de Pareto.

Encontrar la distribución EPBZ

Para dos agentes, el procedimiento " ganador de sintonía " es un procedimiento simple que encuentra una distribución EPBZ con dos propiedades adicionales; también es imparcial y dos agentes comparten como máximo un recurso.

Para tres o más agentes con funciones de utilidad lineales, cualquier distribución óptima de Nash es una EPBZ. La distribución óptima de Nash es la distribución que maximiza el producto de las utilidades de los agentes, o de manera equivalente, la suma de los logaritmos de las utilidades. Encontrar tales distribuciones es un problema de optimización convexa

${\text{maximizar}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~$ , si es una distribución, $(X_{1},\ldots,X_{n})$

y por lo tanto se puede encontrar de manera eficiente. El hecho de que cualquier distribución óptima de Nash sea una EPBZ es cierto incluso en las condiciones más generales de un corte de pastel justo [13] .

Prueba : Considere un pedazo de pastel infinitesimal Z. Para cada agente i , la contribución infinitesimal de Z a es ${\ estilo de visualización \ log (u_ {i} (X_ {i}))}$

$u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i} (Z) \sobre u_{i}(X_{i})}$ .

Por lo tanto, la regla de optimalidad de Nash le da cada parte de Z al agente j para el cual esta expresión es la más grande:

$\forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j}) }\geqslant {u_{i}(Z) \sobre u_{i}(X_{i})}$

La suma de todos los subconjuntos infinitesimales del conjunto X j nos da

$\forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geqslant {u_{i}(X_{j} ) \sobre u_{i}(X_{i})}$

De aquí se sigue la definición de una distribución libre de envidia:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geqslant {u_{i}(X_{j)))))$

Véase también

Teorema de Weller sobre la existencia de una distribución eficiente de Pareto libre de envidia (distribución EPBZ) para cortar el pastel.
Otros teoremas relacionados de Hal Varian se pueden encontrar en el artículo de Varian [14] .
Los teoremas sobre la EFSP distribucional en una economía con producción se pueden encontrar en el artículo de Piketty [15] .

Notas

↑ Schmeidler, Yaari, 1971 .
↑ Varian, 1974 , pág. 79.
↑ Varian, 1974 , pág. 68.
↑ Tenga en cuenta que una economía similar apareció en el documento de 1974 como un ejemplo en el que la distribución STEP no existe. Quizás fue solo un error tipográfico: en lugar de "min", debería haber sido "max", como en el ejemplo C a continuación. Ver hilo de intercambio de pila de economía
↑ Varian, 1974 , pág. 69.
↑ Svensson, 1983 , pág. 301–308.
↑ Diamantaras, 1992 , pág. 141–157.
↑ Eilenberg, Montgomery, 1946 , pág. 214–222.
↑ Svensson, 1994 , pág. 528.
↑ Svensson, 1994 , pág. 531.
↑ 1 2 Vohra, 1992 , pág. 185–202.
↑ Maniquet, 1999 , p. 467–474.
↑ Segal-Halevi, Sziklai, 2018 .
↑ Varian, 1976 , pág. 249–260.
↑ Piketty, 1994 , pág. 391–405.

Literatura

David Schmeidler, Menahem Yaari. asignaciones justas. — 1971. Artículo inédito, presentación oral - CORE (1969), Stanford, 1970
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