Núcleo (teoría de categorías)

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El núcleo en la teoría de categorías es el equivalente categórico del núcleo de un homomorfismo del álgebra general ; intuitivamente, el núcleo de un morfismo es el morfismo "más general" después del cual la aplicación produce el morfismo nulo . $f\dos puntos X\a Y$ $k\dos puntos K\to X$ $F$

Definición

Sea una categoría con cero morfismos . Entonces el núcleo del morfismo es el ecualizador de éste y el morfismo cero . Más explícitamente, se cumple la siguiente propiedad genérica : ${\ matemática C}$ $f\dos puntos X\a Y$ $0\dos puntos X\a Y$

El núcleo es un morfismo tal que: $f\dos puntos X\a Y$ $k\dos puntos K\to X$

${\ estilo de visualización f \ circ k}$ es un morfismo cero de a : $k$ $Y$
para cualquier morfismo tal que sea nulo, hay un único morfismo tal que : $k'\colon K'\to X$ $f\circ k'$ $u\colon K'\to K$ $k\circ u=k'$

Ejemplos

En muchas categorías esta definición del núcleo coincide con la habitual: si es un homomorfismo de grupos o módulos , entonces el núcleo en sentido categórico es una incrustación del núcleo en sentido algebraico en la preimagen. $f\dos puntos X\a Y$

Sin embargo, en la categoría de monoides , los núcleos son en un sentido categórico similares a los núcleos de grupos, por lo que la definición de núcleo en la teoría monoide es ligeramente diferente. En la categoría de anillos , por el contrario, no hay núcleos en el sentido categórico en absoluto, ya que no hay morfismos cero. Los núcleos de monoides y anillos se pueden interpretar en la teoría de categorías usando el concepto de pares de núcleos .

Conexión con otros conceptos categóricos

El concepto dual al núcleo es el conúcleo , es decir, el núcleo de un morfismo es su conúcleo en la categoría dual , y viceversa.

Cada kernel, como cualquier otro ecualizador , es un monomorfismo . Por el contrario, se dice que un monomorfismo es normal si es el núcleo de otro morfismo. Una categoría se llama normal si todos los monomorfismos en ella son normales.

En particular, las categorías abelianas son normales. En esta situación, el núcleo del conúcleo de un morfismo se llama su imagen . Además, cada monomorfismo es su propia imagen.

Literatura

McLane S. Categorías para el matemático que trabaja / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Pablo Aluffy. Álgebra: Capítulo 0. - 2009. - (Estudios de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 0-8218-4781-3 .