Morfismo cero

En la teoría de categorías, un morfismo nulo  es un morfismo que generaliza las propiedades de las asignaciones lineales a cero .

Definición

Sea C  una categoría y f  : X → Y  un morfismo en C . f se llama morfismo constante si para cualquier objeto W en C y cualquier g , h  : W → X , fg = fh . En consecuencia, f se llama morfismo coconstante si, para cualquier objeto Z y cualquier g , h ∈ Mor C ( Y , Z ), gf = hf . Un morfismo nulo  es un morfismo que es a la vez constante y co-constante.

Una categoría con cero morfismos  es una categoría en la que para dos objetos A y B se fija un morfismo 0 AB  : A → B de tal manera que para cualquier objeto X , Y , Z en C y cualquier morfismo f  : Y → Z , g  : X → Y el siguiente diagrama es conmutativo:

Entonces los morfismos 0 XY son necesariamente nulos. Si C  es una categoría con cero morfismos, entonces 0 XY están determinados de forma única.

Ejemplos

• En la categoría de grupos (o módulos ), el morfismo nulo es el homomorfismo f  : G → H que relaciona todos los elementos de G con el elemento neutro de H. el objeto nulo en la categoría de grupos es el grupo trivial 1 = {1}. Todo morfismo nulo barre 1 , es decir, f  : G → 1 → H .

• De manera más general, sea C  una categoría con el objeto nulo 0 . Entonces para cualesquiera dos objetos X e Y hay una única secuencia de morfismos

• Si C  es una categoría preaditiva , entonces todo conjunto de morfismos conjunto Mor( X , Y ) es un grupo abeliano y tiene un elemento cero. Estos elementos cero forman una familia de morfismos cero, lo que convierte a C en una categoría con morfismos cero.

• La categoría de conjuntos no tiene un objeto nulo, pero tiene un objeto inicial , el conjunto vacío ∅. Las únicas funciones coconstantes en Set  son funciones de la forma ∅ → X .

Literatura

• Sección 1.7 de Pareigis, Bodo. Categorías y funtores  (neopr.) . - Academic Press , 1970. - V. 39. - (Matemáticas puras y aplicadas). — ISBN 978-0-12-545150-5 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Teoría de categorías  (indefinida) . —Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973. .