Base de Gröbner

Una base de Gröbner es un conjunto que genera un ideal de un polinomio dado que tiene propiedades especiales.

Definición

Sea lo siguiente para las variables de campo y de conmutación : algún ideal del anillo polinomial de variables de conmutación y algún orden completo " " en monomios , donde , i.e. para _ En este caso, el pedido deberá cumplir además dos condiciones: $F$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $yo$ $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $\prec$ $x^{a}=x_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{a_{n}}$ $a=(a_{1},\ldots,a_{n})\geq 0$ $a_{j}\geq 0$ $j=1,\ldots,n$ $\prec$

multiplicatividad :implica para; $x^{a}\prec x^{b}$ $x^{{a+c}}\prec x^{{b+c}}$ $c\geq 0$
minimalidad de unidad : para, i.e. . $1\prec x^{a}$ $a>0$ $\existe j:a_{j}>0$

Un miembro se denomina miembro principal (" principal ") (con respecto al orden ) del polinomio si para todos . ${\displaystyle l_{\prec}(p)=\varphi _{l}\cdot x^{l))$ $\prec$ $p=\sum_{a\in A(p)}\varphi_{a}\cdot x^{a}\in F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ ${\displaystyle x^{a}\prec x^{l))$ $a\in A(p)\setminus \{l\}$

La base de Gröbner de un ideal de un anillo es un conjunto finito de polinomios de , que genera un ideal y tiene la siguiente propiedad: para cualquier polinomio , existe un polinomio tal que es divisible por . $yo$ $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $G=\{g_{1},\ldots,g_{m}\}$ $F[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $yo$ ${\ estilo de visualización p \ en I}$ $g\in g$ $l_{\prec}(p)$ $l_{\prec}(g)$

Tipos de bases de Gröbner

La base mínima de Gröbner

La base de Gröbner mínima de un polinomio ideal I es su base de Gröbner G tal que:

El coeficiente en el monomio más alto de cada uno es igual a uno. $p\en G$
El monomio más alto de cada uno no es divisible por ninguno de los monomios más altos de otros elementos de la base. $p\en G$

Base de Gröbner reducida

La base de Gröbner reducida de un polinomio ideal I es su base de Gröbner G , tal que:

El coeficiente en el monomio más alto de cada uno es igual a uno. $p\en G$
Ninguno de los monomios es divisible por ninguno de los monomios más altos de otros elementos de la base. $p\en G$

Para una base de Gröbner reducida de un ideal, la siguiente afirmación es verdadera:

Sea I un polinomio ideal y se da alguna ordenación monomio. Entonces existe una única base de Gröbner reducida del yo ideal .

Algoritmos de construcción

El primer algoritmo para construir una base de Gröbner reducida de un ideal se considera el algoritmo de Buchberger . Curiosamente, el conocido método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales es un caso especial del algoritmo de Buchberger.

Además, el matemático francés Jean-Charles Foger propuso los algoritmos F4 y F5 para encontrar la base de Gröbner.

Aplicaciones

La base de Gröbner es un concepto esencial en álgebra informática , geometría algebraica y álgebra conmutativa computacional .

Historia

matemático austriaco Wolfgang Gröbner las bases estándar para el caso conmutativo libre a principios de la década de 1930 y la publicó en un artículo de 1950 [1] , donde escribió:

Empecé a usar este método hace 17 años para varios ejemplos, algunos muy complejos.

Texto original (alemán)[ mostrarocultar] Ich habe diese Methode seit etwa 17 Jahren in den verschiedensten, auch kompliziersten Fällen verwendet.

En 1964, Heisuke Hironaka , quien ganó el Premio Fields de 1970 , desarrolló un concepto similar para los anillos locales . Llamó a los sistemas introducidos de polinomios la base estándar .

El concepto de base de Gröbner fue introducido en 1965 por el matemático austriaco Bruno Buchberger , antiguo alumno de Gröbner. Buchberger propuso un procedimiento constructivo para construir la base de Gröbner en forma de un algoritmo informático eficiente, que más tarde se conoció como Buchberger

La existencia de una base estándar para un ideal se basa en el “lema de composición”, que fue probado por primera vez para el más complejo de los casos conocidos ( álgebras de Lie libres ) por AI Shirshov [2] . Además, la corrección de una declaración similar para los casos asociativos libres y conmutativos se consideró obvia y no atrajo mucha atención hasta los trabajos posteriores de L. A. Bokut sobre la teoría de incrustaciones de anillos asociativos en anillos y anillos con propiedades dadas. En 1972, L. A. Bokut publicó el "lema de composición de Shirshov" para el caso asociativo libre en las notas del curso de álgebras asociativas en la Universidad de Novosibirsk. A partir de aquí y de la comunicación oral, se dio a conocer al algebrista estadounidense J. Bergman, quien lo publicó en 1979 con el título “Diamond Lemma” (“Diamond Lemma”). No hubo una prueba rigurosa en el trabajo, y solo se indicó el esquema mnemotécnico de "fusión", que es necesario para comprender la idea de composición de Shirshov. Después de la publicación de Bergman, el "lema del diamante" se hizo popular entre los algebristas y geómetras, y también llamó la atención sobre la "base de Gröbner" de Buchberger. A mediados de la década de 1980, el algebraista de Moscú A. A. Mikhalev construyó una base estándar para superálgebras y álgebras de Lie coloreadas.

Notas

↑ W. Gröbner. Über die Eliminationstheorie // Monatshefte für Mathematik : diario. - 1950. - Vol. 54 . - Pág. 71-78 .
↑ SMJ, 1962, tomo 3, nº 2, pág. 292-296.

Literatura

Arzhantsev IV Gröbner bases y sistemas de ecuaciones algebraicas . - M. : MTSNMO , 2003. - 68 p. — ISBN 5-94057-095-X .
Buchberger B. y otros. Álgebra computacional: Cálculos simbólicos y algebraicos. — M .: Mir, 1986. — 392 p.
Cox D., Little J., O'Shea D. Ideales, variedades y algoritmos. Introducción a los aspectos computacionales de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa. — M .: Mir, 2000. — 687 p. - ISBN 5-03-003320-3 .
Pankratiev EV Introducción al álgebra computacional . - Intuición. — ISBN 978-5-9556-0099-4 .

Enlaces

Churkin V. A. Sistemas de ecuaciones polinómicas, ideales y sus bases divisorias .
Bernd Sturmfels . ¿Qué es una base de Gröbner?