Límites superior e inferior precisos

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El límite superior exacto (límite superior) y el límite inferior exacto (límite inferior) son generalizaciones de los conceptos de máximo y mínimo de un conjunto, respectivamente.

Los límites superior e inferior exactos de un conjunto generalmente se denotan (léase supremum x ) y (léase infimum x ), respectivamente. $X$ $\sup X$ $\inf X$

Definiciones utilizadas

La mayorante , o límite superior (límite) , de un conjunto numérico es un númerotal que. $X$ $a$ $\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$

El menor , o límite inferior (límite) , de un conjunto numérico es un número tal que . $X$ $b$ $\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$

De manera similar, se introducen conceptos similares para un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado no numérico . Estos conceptos se utilizarán a continuación.

Definiciones

El límite superior exacto (límite superior más pequeño) , o supremum ( latín supremum - el más alto), de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado (o clase ) es el elemento más pequeño que es igual o mayor que todos los elementos del conjunto . En otras palabras, el supremo es la más pequeña de todas las caras superiores. designado _ $X$ $METRO$ $METRO$ $X$ $\sup X$

Más formalmente:

S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}

- conjunto de caras superiores , es decir, elementos iguales o mayores que todos los elementos ;

X

METRO

X

s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.

El límite inferior exacto (límite inferior más grande) , o infimum ( lat. infimum - el más bajo), subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado (o clase ) es el elemento más grande , que es igual o menor que todos los elementos del conjunto . En otras palabras, el ínfimo es el mayor de todos los límites inferiores. designado _ $X$ $METRO$ $METRO$ $X$ $\inf X$

Notas

Estas definiciones no dicen nada sobre si y pertenece o no al conjunto : $\sup X$ $\inf X$ $X$

en el caso de decir que es el máximo , es decir ;

s=\sup X\in X

s

X

{\ estilo de visualización s = \ max X}

en el caso se dice que es el mínimo de , es decir .

i=\inf X\in X

i

X

{\ estilo de visualización i = \ min X}

Las definiciones anteriores son no predicativas (refiriéndose a sí mismas), ya que el concepto definido en cada una de ellas es un elemento del conjunto a través del cual se define. Los defensores del constructivismo en matemáticas se oponen al uso de tales definiciones, previniendo o eliminando elementos del " círculo vicioso " dentro de sus teorías por varios métodos.
Al estimar constantes desconocidas, se utilizan los términos "límite superior" y "límite inferior", mientras que el límite superior es el límite inferior de algún conjunto conocido y el límite inferior es el límite superior . Del inglés, el término "límite superior" se puede traducir tanto como "límite superior" como "límite superior", lo que a veces genera confusión. La situación es similar con la expresión de "límite bajo".

Ejemplos

No hay un mínimo en el conjunto de todos los números racionales mayores que cinco, pero sí un ínfimo. tal conjunto es igual a cinco. El ínfimo no es un mínimo, ya que el cinco no pertenece a este conjunto. Sin embargo, si definimos el conjunto de todos los números naturales mayores que cinco, entonces dicho conjunto tiene un mínimo y es igual a seis. En términos generales, cualquier subconjunto no vacío del conjunto de números naturales tiene un mínimo. $\inf$
para un conjunto ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2 )),\;{\frac {1}{3)),\;\ldots \right\))$

\sup S=1

; .

\inf S=0

El conjunto de los números racionales positivos no tiene una cota superior mínima en , sino un ínfimo exacto . $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ $\matemáticas {Q}$ $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$
El conjunto de los números racionales cuyo cuadrado es menor que dos no tiene cotas superior e inferior exactas en , pero si se considera como un subconjunto del conjunto de los números reales , entonces ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\))$ $\matemáticas {Q}$

\sup X={\sqrt {2}}

y .

\inf X=-{\sqrt {2}}

Teorema del borde

Redacción

Un subconjunto no vacío de los números reales , acotados arriba, tiene un límite superior mínimo; el análogo , limitado por abajo, es el ínfimo. Es decir, hay tales que: $A$ $B$ ${\ barra {a}}$ ${\ estilo de visualización {\ subrayado {b))}$

{\bar {a))=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a)),\\\forall {\bar {a} }'<{\bar {a}}\,\,\existe un\en A:a>{\bar {a}}';\end{casos}}\ \ \ \ (1)

{\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b)),\\\forall {\underline {b} }'>{\subrayado {b}}\,\,\existe b\en B:b<{\subrayado {b}}';\end{casos}}\ \ \ \ (2)

Prueba

Para un conjunto no vacío acotado superiormente. Para un conjunto acotado por abajo, los argumentos se llevan a cabo de manera similar. $X$

Representemos todos los números en forma de fracciones decimales infinitas : , donde es un dígito. $x\en X$ $x={\overline {x_{0},x_{1}\puntos x_{m}\puntos ))$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i))$

El conjunto no es vacío y está acotado superiormente por definición . Dado que y está acotado por arriba, hay un número finito de elementos mayores que algunos (de lo contrario, el principio de inducción implicaría la falta de límites por arriba). Elijamos entre estos . $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $X$ ${\displaystyle X_{0}\subconjunto \mathbb {N} \cup \{0\))$ $X_{0}$ ${\tilde {x}}_{0}\en X_{0}$ $X_{0}$ ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0))$

El conjunto no está vacío y consta de no más de diez elementos, por lo que existe . $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\en X\}$ $a_{1}=\max X_{1}$

Suponga que para algún número se construye un número decimal tal que , y (la representación decimal de cualquier elemento del conjunto original hasta el -ésimo lugar decimal no excede , y hay al menos 1 elemento cuya notación decimal comienza con ). $metro$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ $\existe x\en X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots ))$ ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1} \ldots x_{m))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $metro$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\puntos a_{m))$

Denote (el conjunto de elementos que comienzan en notación decimal con ). Por definición de número , el conjunto no es vacío. Es finito, por lo que existe un número que tiene las mismas propiedades que . $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1))}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+ 1 }\ldots }}\en X\}$ $X$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\puntos a_{m}a_{m+1))$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ ${\ estilo de visualización X_ {m + 1}}$ ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ $soy$

Así, según el principio de inducción , para cualquier resulta ser un dígito determinado y por lo tanto una fracción decimal infinita está determinada de manera única $norte$ $un$

a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}

Tomemos un número arbitrario . Según la construcción del número , para cualquier número vale y por lo tanto . Dado que se cumple el razonamiento , entonces , y la segunda línea de la definición se cumple a partir de la construcción de . $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$ $a$ $norte$ ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n))))$ $x\leqslant a$ ${\ estilo de visualización \ para todos x \ en X}$ $a=\sup X$ $a$

Elijamos _ Es fácil ver que al menos un dígito en la notación decimal es menor que el correspondiente en la notación . Considere el resultado obtenido por el primer número de tal figura. Como no está vacío, . ${\ estilo de visualización a'<a}$ $a'$ $a$ $X_{yo}$ $\existe x\en X_{i}\subconjunto X:x>a'$

Prueba usando el principio de completitud

Para un conjunto no vacío acotado superiormente, considere — un conjunto no vacío de cotas superiores . Por definición, (el conjunto se encuentra a la izquierda de ). Según la continuidad , . Por definición , en cualquier caso (de lo contrario , no el conjunto de límites superiores, sino solo algunos de sus subconjuntos). Dado que es el elemento más pequeño , entonces . $X$ ${\overline {X}}$ $X$ ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ $X$ ${\overline {X}}$ $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c\in {\sobrelínea {X}}$ ${\overline {X}}$ $C$ ${\overline {X}}$ $c=\sup X$

Veamos la segunda línea de la definición. Elijamos _ Sea , entonces , lo que significa que , pero , y es el elemento más pequeño de . Una contradicción, eso es . En términos generales, el razonamiento es correcto . ${\ estilo de visualización c'<c}$ $\not \existe x\en X:x>c'$ $\forall x\in X:x\leqslant c'$ $c'\in {\overline {X}}$ ${\ estilo de visualización c'<c}$ $C$ ${\overline {X}}$ $\existe x\en X:x>c'$ $\forall c'$

Para un conjunto acotado por abajo, los argumentos son similares.

Propiedades

Por el teorema del borde, para cualquier subconjunto acotado por encima de , existe . $\matemáticas {R}$ $\arriba$
Por el teorema del borde, para cualquier subconjunto acotado por debajo de , existe . $\matemáticas {R}$ $\inf$
Un número real es si y solo si: $s$ $\sup X$

s

hay un límite superior , es decir, para todos los elementos ,;

X

x\en X

x\leqslant s

para any hay , tal que (es decir, puede "acercarse" a arbitrariamente desde el conjunto , y para , es obvio que ).

\varepsilon >0

x\en X

x+\varepsilon >s

s

X

s \ en X

s+\varepsilon>s

Una declaración similar a la última también es válida para el límite inferior mínimo.

Variaciones y generalizaciones

supremo significativo

Literatura

Bogdanov Yu. S., Kastritsa OA, Syroid Yu. B. Análisis matemático: libro de texto para universidades. — M.: UNITI-DANA, 2003.- S. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Bogdanov Yu. S. Conferencias sobre análisis matemático. Parte 1. - Mn.: BSU Publishing House, 1974. - S. 3-8.
W.Rudin. Fundamentos del análisis matemático. — M .: Mir, 1976. — 320 p.