Generación del segundo armónico óptico

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La generación de segundo armónico ( SHG ) es un proceso óptico no lineal en el que fotones de la misma frecuencia, interactuando con un material no lineal, se combinan para formar nuevos fotones con el doble de energía y, por lo tanto, con el doble de frecuencia y longitud de onda. menos de la mitad del inicial. Este es un caso especial de adición no lineal de frecuencias de radiación .

También se puede encontrar una explicación del efecto en el video de YouTube .

Historia

La segunda generación armónica fue implementada por primera vez por Peter Franken, Hill, Peters y Weinreich en la Universidad de Michigan, Ann Arbor en 1961. [1] La realización fue posible gracias a la invención del láser , que creó la necesaria radiación monocromática de alta intensidad . En este experimento, la radiación generada por un láser de rubí se enfocó en un cristal de cuarzo. La radiación de salida se expandió en un espectro usando un prisma dispersivo y se enfocó en una placa fotográfica. Como resultado, fue posible observar que, además de la luz a la frecuencia del láser, el cristal emitía radiación a una longitud de onda de 347 nm. Este fue el segundo armónico. Posteriormente, Jordmain [2] , Maker y otros [3] , Miller y Savage y otros [4] repitieron los experimentos de SHG .

Derivación de la ecuación

La ecuación para el componente de frecuencia del campo con frecuencia se puede escribir como [5] $\omega_{n}$

\nabla ^{2}\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )+{\frac {\omega _{n}^{2}}{c^{2}}}{ \varepsilon }\left(\omega _{n}\right)\cdot \mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )=-{\frac {\omega _{n}^{2)) {\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {P} _{n}^{\mathrm {NL} }(\mathbf {r} )

donde es la permitividad del material a la frecuencia . ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ izquierda (\ omega _ {n} \ derecha)}$ $\omega_{n}$

Considere el caso general de generación de frecuencias sumadas por dos ondas con frecuencias y . La generación del segundo armónico es un caso especial para , . Supondremos que la onda se propaga en la dirección z , y las cantidades vectoriales pueden ser reemplazadas por escalares. $\Omega 3}$ $\omega_{1}$ $\omega _{2}$ $\omega_{1}=\omega_{2}=\omega$ $\omega_{3}=\omega_{1}+\omega_{2}=2\omega$

Entonces la polarización

P_{3}(\omega _{3})=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E_{1}(\omega_{1})E_{2}(\omega_ {2})=4\varepsilon_{0}d_{\text{ef}}(\omega_{3};\omega_{1},\omega_{2})E_{1}(\omega_ {1})E_{2}(\omega_{2}),\,

(en el caso del segundo armónico ) $P(2\omega )=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}(\omega )=2\varepsilon _{0}d_{\text{eff))( 2\omega ;\omega ,\omega )E^{2}(\omega )$

donde es el coeficiente óptico no lineal efectivo. $d_{\text{ef))$

Tomamos en cuenta que

{\displaystyle E_{i}(z,t)=E_{i}(\omega _{i})e^{-i\omega _{i}t))

{\displaystyle E_{i}(\omega _{i})=A_{i}e^{ik_{i}z))

después

P_{3}(\omega _{3})=4\varepsilon _{0}d_{\text{eff}}A_{1}A_{2}e^{ik_{1}z+ik_{ 2}z},\,

Sustituyendo en la ecuación de onda, obtenemos

{\begin{matriz}{c}{\left[{\frac {d^{2}A_{3}}{dz^{2}}}+2ik_{3}{\frac {dA_{3 }}{dz}}-k_{3}^{2}A_{3}+{\frac {\varepsilon \left(\omega _{3}\right)\omega _{3}^{2}A_{ 3}}{c^{2}}}\right]e^{i\left(k_{3}z-\omega _{3}t\right)}+\mathrm {cc} }={\frac { -4d_{\mathrm {ef} }\omega _{3}^{2}}{c^{2}}}A_{1}A_{2}e^{i\left[\left(k_{1} +k_{2}\right)z-\omega _{3}t\right]}+\mathrm {cc} \end{matriz}}

porque , obtenemos ${\displaystyle k_{3}^{2}=\varepsilon \left(\omega_{3}\right)\omega_{3}^{2}A_{3}/c^{2))$

{\frac {d^{2}A_{3}}{dz^{2}}}+2ik_{3}{\frac {dA_{3}}{dz}}={\frac {-4d_ {\mathrm {eff} }\omega _{3}^{2}}{c^{2}}}A_{1}A_{2}e^{i\left(k_{1}+k_{2} -k_{3}\derecho)z}

Usemos la aproximación de amplitudes que varían lentamente :

{\frac {dA_{3}}{dz}}={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{3}^{2}}{k_{3}c^{2} }}A_{1}A_{2}e^{i\Delta kz}

{\begin{alineado}{\frac {dA_{1}}{dz}}&={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{1}^{2}}{k_{ 1}c^{2))}A_{3}A_{2}^{*}e^{-i\Delta kz}\\{\frac {dA_{2}}{dz}}&={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{2}^{2}}{k_{2}c^{2}}}A_{3}A_{1}^{*}e^{-i\ Delta kz}\end{alineado}}

donde _ ${\displaystyle \Delta k=k_{1}+k_{2}-k_{3))$

Con un factor de conversión bajo ( ), las amplitudes y pueden considerarse constantes durante toda la duración de la interacción, . Teniendo en cuenta las condiciones de contorno , obtenemos: $A_{3}<<A_{1},A_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $L$ ${\ estilo de visualización E_ {3} (z = 0) = 0}$

A_{3}(L)={\frac {2id_{\mathrm {ef} }\omega_{3}^{2}A_{1}A_{2}}{k_{3}c^{ 2))}\int_{0}^{L}e^{i\Delta kz}dz={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega_{3}^{2}A_{1} A_{2}}{k_{3}c^{2}}}\left({\frac {e^{i\Delta kL}-1}{i\Delta k}}\right)

Entonces intensidad:

{\displaystyle I_{i}=2n_{i}\varepsilon _{0}c|A_{i}|^{2))

I_{3}={\frac {2d_{\mathrm {eff} }^{2}\omega _{3}^{2}}{n_{1}n_{2}n_{3}\varepsilon _ {0}c^{3}}}L^{2}\nombre del operador {sinc} ^{2}\left({\frac {\Delta kL}{2}}\right)I_{1}I_{2 }

para el segundo armónico

I(2\omega )={\frac {2\omega ^{2}d_{\text{eff}}^{2}L^{2}}{n_{2\omega }n_{\omega }^{2}c^{3}\varepsilon _{0}}}\nombre del operador {sinc} ^{2}\left({\frac {\Delta kL}{2}}\right)I^{2} (\omega)

Cuando se cumple la condición de coincidencia de fase , la intensidad es máxima y crece como . ${\ estilo de visualización \ Delta k = 0}$ $z^{2}$

Solución teniendo en cuenta el agotamiento de las ondas de bombeo

Cuando la conversión al segundo armónico se vuelve significativa, se debe tener en cuenta el agotamiento de la onda de bombeo [5] [6] [7] . De manera similar al párrafo anterior, las ecuaciones de amplitud se pueden escribir como

{\frac {dA_{1}}{dz}}={\frac {2i\omega _{1}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{1}c^{2 }}}A_{2}A_{1}^{*}e^{-i\Delta kz}

{\frac {dA_{2}}{dz}}={\frac {i\omega _{2}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{2}c^{2 }}}A_{1}^{2}e^{i\Delta kz}

donde * significa el valor complejo conjugado, mientras que es la amplitud del segundo armónico, y es la amplitud de la onda fundamental, . $A_{2}$ $A_{1}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {2} = 2 \ omega _ {1} = 2 \ omega}$

Para simplificar, supongamos que ${\ estilo de visualización \ Delta k = 0}$

Escribamos el corolario de las relaciones Manley-Row

{\displaystyle n_{2}|A_{2}|^{2}+n_{1}|A_{1}|^{2}=n_{1}|A_{0}|^{2))

, ya que la intensidad total

{\displaystyle I_{1}+I_{2}=I=2n_{1}\varepsilon _{0}c|A_{0}|^{2))

En este caso, las amplitudes se pueden representar como:

{\begin{alineado}A_{1}&=|A_{1}|e^{i\varphi _{1}}\\A_{2}&=|A_{2}|e^{i \varphi _{2}}\end{alineado}}

Sustituyendo las proporciones de las amplitudes en la segunda ecuación, obtenemos

{\frac {d|A_{2}|}{dz}}e^{i\varphi _{2}}={\frac {i\omega _{2}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{2}c^{2}}}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\left({\frac {n_{1}}{n_{2} }}|A_{0}|^{2}-|A_{2}|^{2}\right)e^{2i\varphi _{1}}

\int _{0}^{|A_{2}|_{z=L}}{\frac {d|A_{2}|}{{\frac {n_{1}}{n_{2 }}}|A_{0}|^{2}-|A_{2}|^{2}}}=\int _{0}^{L}{{\frac {i\omega _{2}^ {2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{2}c^{2}}}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}e^{2i\varphi _{1} -i\varphi _{2}}dz}

Usando

\int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {1}{a}}\operatorname {th} ^{-1}{\frac { x{a}}

Obtener

|A_{2}|_{z=L}={\sqrt {\frac {n_{1}}{n_{2}}}}|A_{0}|\operatorname {th} \left( {\sqrt {\frac {n_{1}}{n_{2}}}}|A_{0}|({\frac {i\omega _{2}^{2}d_{\mathrm {eff} } {k_{2}c^{2))}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}e^{2i\varphi _{1}-i\varphi _{2}}L} \Correcto)

Suponga que las fases iniciales son tales que , entonces $e^{2i\varphi _{1}-i\varphi _{2}}=-i$

|A_{2}|_{z=L}={\sqrt {\frac {n_{1}}{n_{2}}}}|A_{0}|\operatorname {th} \left( L/l\derecha)

dónde

l={\frac {{\sqrt {n_{1}n_{2}}}c}{|A_{0}|\omega _{2}d_{\mathrm {eff} }}}

I(2\omega ,L)=I(\omega ,0)\operatorname {th} ^{2}{\left({\frac {|A_{0}|\omega _{2}d_{ \mathrm {eff} }L}{{\sqrt {n_{1}n_{2}}}c}}\right)}

I(\omega ,L)=I(\omega ,0)\operatorname {sch} ^{2}{\left({\frac {|A_{0}|\omega _{2}d_{\ matemáticas {eff} }L}{{\sqrt {n_{1}n_{2}}}c}}\right)}

En el caso general de ausencia de coincidencia de fase, la solución se da en [8] y viene dada por integrales elípticas.

El mecanismo de ocurrencia del fenómeno

Cuando una onda electromagnética de pequeña amplitud cae sobre un dieléctrico, el momento dipolar total de una unidad de volumen ( polarización del dieléctrico), que surge en este caso, es proporcional a la amplitud de la onda. Como resultado, el momento dipolar da lugar a una onda secundaria de la misma frecuencia. A grandes amplitudes, el momento dipolar total es una función no lineal de la amplitud de la onda incidente. Es decir, resulta depender no solo de la primera, sino también de las potencias segunda, tercera y posteriores de la amplitud de la onda incidente. Esto conduce a la generación de ondas secundarias de frecuencia duplicada, triplicada, etc. (se sabe por trigonometría que etc. [9] ). $\cos ^{2}\omega t=(1+\cos 2\omega t)/2,$ $\cos ^{3}\omega t=(3\cos \omega t+\cos 3\omega t)/4,$

Desde el punto de vista de la mecánica cuántica

Desde un punto de vista cuántico, el proceso de conversión de frecuencia no lineal se ve así. Al generar el segundo armónico, podemos suponer que dos fotones de la frecuencia inicial son absorbidos simultáneamente en el medio, transfiriendo el sistema a un nivel virtual con energía , luego de lo cual el sistema se relaja desde este nivel al estado fundamental con la emisión de un fotón con frecuencia . $\omega$ ${\ estilo de visualización 2 \ hbar \ omega}$ ${\ estilo de visualización 2 \ omega}$

Aplicación

En estudios en el campo de la fusión termonuclear láser, se utiliza HHG, ya que la densidad crítica del plasma es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de la radiación que actúa, entonces un aumento en la frecuencia de la radiación conduce a un aumento en el valor de la crítica densidad del plasma, por lo tanto, la radiación que actúa interactúa con capas de plasma más densas. Además, el uso de la radiación armónica óptica permite aislar el láser de la radiación reflejada por el plasma y evitar así la destrucción de los elementos ópticos. El uso de armónicos ópticos se utiliza para el sondeo de plasma. Además, SHG se utiliza para bombear otros láseres y ampliar el espectro de los sistemas láser multiespectrales.

Materiales utilizados para generar el segundo armónico

La red cristalina de tales materiales no tiene un centro de inversión. Entonces, por ejemplo, el agua, el vidrio, los cristales con simetría cúbica no pueden generar el segundo armónico en volumen.

Aquí hay algunos tipos de cristales que se usan con ciertos tipos de láseres para generar el segundo armónico:

Onda fundamental a 600-1500 nm: [10] BiBO (BiB 3 O 6 )
Onda fundamental a 570-4000 nm: [11] LiIO 3 yodato de litio .
Onda fundamental a 800-1100, a menudo 860 o 980 nm: [12] niobato de potasio KNbO 3
Onda fundamental a 410–2000 nm: BBO (β-BaB 2 O 4 ) [13]
Onda fundamental a 984 nm-3400 nm: KTP (KTiOPO 4 ) o KTA, [14]
Onda fundamental a 1064 nm: Dihidrógeno ortofosfato de potasio KDP (KH 2 PO 4 ), Triborato de litio (LiB 3 O 5 ), CsLiB 6 O 10 y Borato de bario BBO(β-BaB 2 O 4 ).
Onda fundamental a 1319 nm: KNbO 3 , BBO (β-BaB 2 O 4 ), Fosfato dihidrógeno de potasio KDP (KH 2 PO 4 ), LiIO 3 , LiNbO 3 y Fosfato de titanio y potasio KTP (KTiOPO 4 ).
Onda fundamental a ~1000-2000 nm: cristales para proporcionar coincidencia de cuasifase, como PPLN . [quince]

En particular, las proteínas biológicas filamentosas con simetría cilíndrica como el colágeno , la tubulina o la miosina , así como algunos carbohidratos (como el almidón o la celulosa ) también son transductores de segundo armónico bastante buenos (bombeo de infrarrojo cercano). [dieciséis]

Donde observado

En ferroeléctricos con alta polarizabilidad. El pozo de potencial para un electrón allí es fuertemente asimétrico. Por lo tanto, un ferroeléctrico con polarización espontánea convierte la frecuencia de radiación de manera mucho más eficiente que otros cristales. También se observa en polímeros que contienen moléculas con cromóforos ópticos no lineales en su volumen ; también tienen una alta polarizabilidad.

Literatura

Bursian, E. V. Ferroelectrics in nonlinear optics // Soros Educational Journal . - 2001. - T. 7 . - S. 98-102 .

Notas

↑ PA Franken, AE Hill, CW Peters, G. Weinreich. Generación de Armónicos Ópticos // Cartas de Revisión Física. - 1961-08-15. - T. 7 , núm. 4 . - S. 118-119 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.7.118 .
↑ JA Giordmaine. Mezcla de Haces de Luz en Cristales // Cartas de Revisión Física. - 1962-01-01. - T. 8 , núm. 1 . - S. 19-20 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.8.19 .
↑ PD Maker, RW Terhune, M. Nisenoff, CM Savage. Efectos de la dispersión y el enfoque en la producción de armónicos ópticos // Cartas de revisión física. - 1962-01-01. - T. 8 , núm. 1 . - S. 21-22 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.8.21 .
↑ Robert C. Miller, Albert Savage. Generación armónica y mezcla de CaW${\mathrm{O}}_{4}$: ${\mathrm{Nd}}^{3+}$ y rayos láser pulsados de rubí en cristales piezoeléctricos // Revisión física. — 1962-12-01. - T. 128 , n. 5 . - S. 2175-2179 . -doi : 10.1103 / PhysRev.128.2175 .
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↑ Zernike, Frits; Midwinter, John E. Óptica no lineal aplicada . — John Wiley & Sons Inc. , 1973. - ISBN 0-486-45360-X .
↑ Midwinter, J.; Zernike, F.; "Óptica no lineal aplicada" Editorial: M.: Mir, 1976
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