Ortogonalidad hiperbólica

La ortogonalidad hiperbólica  es un concepto de la geometría euclidiana . Se dice que dos líneas son hiperbólicamente ortogonales cuando son reflejos entre sí a lo largo de la asíntota de la hipérbola dada .

A menudo se utilizan dos hipérbolas especiales en el plano:

(A) xy = 1 para y = 0 como una asíntota. Cuando se refleja a lo largo del eje x, la línea y = mx se convierte en y = -mx . En este caso, las rectas son ortogonales hiperbólicas si sus pendientes son números opuestos . (B) x 2  - y 2 = 1 para y = x como una asíntota. Para rectas y = mx para −1 < m < 1, cuando x = 1/ m , entonces y = 1. El punto (1/ m , 1) en la línea se refleja a través de y = x a (1, 1/ m ). Por tanto, la recta reflejada tiene una pendiente de 1/m, y las pendientes de las rectas ortogonales hiperbólicas son inversas entre sí.

La relación de ortogonalidad hiperbólica en realidad se aplica a clases de líneas paralelas en el plano, donde cualquier línea en particular puede representar una clase. Así, para una hipérbola dada y una asíntota A , un par de rectas ( a, b ) son ortogonales hiperbólicas si existe un par ( c, d ) tal que , y c  es el reflejo de d a través de A .

La propiedad de un radio ortogonal a una tangente en una curva se extiende de un círculo a una hipérbola usando la noción de ortogonalidad hiperbólica. [1] [2]

Desde la llegada del espacio-tiempo de Minkowski en 1908, se ha introducido el concepto de puntos hiperbólicamente ortogonales a la línea de tiempo (tangentes a la línea del mundo ) en el plano del espacio-tiempo para determinar la simultaneidad de eventos en relación con una línea de tiempo dada. El estudio de Minkowski utiliza la hipérbole tipo (B). [3] Dos vectores son normales (en el sentido de ortogonalidad hiperbólica) cuando

Donde c = 1, y y z son iguales a cero, x ≠ 0, t 1 ≠ 0, entonces .

En geometría analítica, se usa una forma bilineal para describir la ortogonalidad , siendo dos elementos ortogonales cuando su forma bilineal desaparece. En el plano de los números complejos la forma bilineal es , mientras que en el plano de los números hiperbólicos la forma bilineal es

Se dice que dos vectores z 1 y z 2 en el plano complejo, y w 1 y w 2 en el plano hiperbólico son respectivamente ortogonales euclidianas y ortogonales hiperbólicas si sus respectivos productos internos de formas bilineales son cero. [cuatro]

Para una hipérbola dada con asíntota A , su reflejo en A da la hipérbola conjugada . Cualquier diámetro de la hipérbola original se refleja en el diámetro conjugado. En la teoría de la relatividad, las direcciones dadas por los diámetros conjugados se toman como ejes espaciales y temporales.

Como escribió E. T. Whittaker en 1910, "La hipérbola no cambia si cualquier par de diámetros conjugados se toma como nuevos ejes, y la nueva unidad de longitud se toma en proporción a la longitud de cualquiera de estos diámetros". [5] Sobre este principio de relatividad , escribió la transformación de Lorentz en su forma moderna utilizando el concepto de rapidez .

Edward B. Wilson y Gilbert N. Lewis desarrollaron el concepto dentro de la geometría sintética en 1912. Señalan que "en nuestro plano, ningún par de líneas ortogonales hiperbólicas perpendiculares se adapta mejor como ejes de coordenadas que cualquier otro par" [1]

El concepto de ortogonalidad hiperbólica surgió en la geometría analítica , teniendo en cuenta los diámetros conjugados de elipses e hipérbolas. [6] Si g y g' son las pendientes de los diámetros conjugados, entonces en el caso de una elipse y en el caso de una hipérbola. Si a = b , la elipse es un círculo, los diámetros conjugados son perpendiculares, la hipérbola es rectangular y los diámetros conjugados son hiperbólicamente ortogonales.

En la terminología de la geometría proyectiva , la operación de tomar una línea ortogonal hiperbólica es una involución . Suponga que la pendiente de la línea vertical se denota como ∞, entonces todas las líneas tienen una pendiente en la línea real proyectivamente extendida . Entonces, dependiendo de cuál de las hipérbolas (A) o (B) se utilice, la operación es un ejemplo de involución hiperbólica , donde la asíntota es invariante.

Notas

  1. ↑ 1 2 Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis (1912) "La variedad espacio-temporal de la relatividad". La geometría no euclidiana de la mecánica y la electromagnética", Actas de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias 48:387-507, esp. 415
  2. ↑ Bjørn Felsager (2004), A través del espejo: un vistazo a la geometría gemela de Euclides, la geometría de Minkowski Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine , ICME-10 Copenhague; páginas 6 y 7.
  3. ↑ Minkowski, Hermann (1909), Raum und Zeit , Physikalische Zeitschrift Vol . 10: 75–88 
    • Varias traducciones al inglés en Wikisource: espacio y tiempo
  4. ↑ Sobczyk, G. (1995) Hyperbolic Number Plane Archivado el 13 de noviembre de 2013 en Wayback Machine , también publicado en College Mathematics Journal 26:268-80 .
  5. ↑ E. T. Whittaker (1910) Historia de las teorías del éter y la electricidad Dublín: Longmans, Green and Co. (ver página 441)
  6. ↑ Barry Spain (1957) Analytical Conics Archivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine , elipse § 33, página 38 e hipérbola § 41, página 49, de Hathi Trust

Literatura