Hipótesis de Carathéodory

La conjetura de Carathéodory es una conjetura atribuida a Constantine Carathéodory , que fue formulada por Hans Ludwig Hamburger en la sesión de 1924 de la Sociedad Matemática de Berlín [1] . Carathéodory publicó artículos sobre este tema [2] pero nunca presentó la hipótesis en sus escritos. John Edensor Littlewood en su libro [3] menciona la conjetura y la contribución de Hamburger [4] [5] [6] como un ejemplo de una declaración matemática que es fácil de enunciar pero difícil de probar. Dirk Jan Stroyk describe en su artículo [7] una analogía formal de la conjetura con el teorema de los cuatro vértices para curvas planas . Las referencias modernas a la conjetura son una lista de problemas de Yau Shintun [8] , libros de Marcel Berger [9] [10] , así como libros de Nikolaev [11] , Stroyka [12] , Toponogov [13] y Alekseevsky, Vinogradov, Lychaguin [14] .

Redacción

Cualquier superficie convexa, cerrada y suficientemente lisa en el espacio euclidiano tridimensional contiene al menos dos puntos de redondeo .

Notas

Por ejemplo , un elipsoide de revolución tiene exactamente dos puntos de redondeo. En este caso, todos los puntos de la esfera son puntos de redondeo.

Resultados privados

Hubo una solicitud de Stefan Cohn-Vossen [15] al Congreso Internacional de Matemáticos en 1928 en Bolonia y en la edición de 1929 del tercer volumen del libro "Geometría diferencial" [16] Wilhelm Blaschke escribió:

Mientras se preparaba el libro para su publicación, Cohn-Vossen pudo demostrar que las superficies analíticas reales cerradas no tienen puntos umbilicales con índice > 2 (charla invitada en el ICM en Bolonia 1928). Esto prueba la conjetura de Carathéodory para tales superficies, a saber, que las superficies deben tener al menos dos ombligos.

Aquí el índice de Blaschke es igual al doble del índice habitual del punto umbilical y la conjetura global se deriva del teorema del campo vectorial de Poincaré . Cohn-Vossen no publicó ningún artículo antes del Congreso Internacional, y en ediciones posteriores del libro de Blaschke se eliminaron los comentarios anteriores. De esto es lógico concluir que el trabajo no fue convincente.

Para las superficies analíticas, Hans Ludwig Hamburger dio una respuesta afirmativa a la conjetura en 1940 en un extenso artículo publicado en tres partes [4] [5] [6] . El enfoque de Hamburger también se basó en estimar los índices de puntos umbilicales aislados, a partir de los cuales, como mostró en artículos anteriores [17] [18] , se sigue la conjetura de Caratedori. En 1943, Gerrit Bol ofreció una prueba más corta [19] (ver también Blaschke [20] ), pero en 1959 Tilla Klotz [21] encontró y corrigió un vacío en la prueba de Bol [4] [5] [6] . Su demostración, a su vez, fue declarada incompleta en la disertación de Hanspeter Scherbel [22] (Sherbel no publicó ningún resultado relacionado con la conjetura de Carathéodory hasta por lo menos junio de 2009). Entre otras publicaciones cabe mencionar las obras de Tito [23] , Sotomayor y Mello [24] , Gutiérrez [25] .

Todas las pruebas mencionadas anteriormente se basan en la reducción de Hamburger de la conjetura de Carathéodory a la siguiente conjetura: el índice de cualquier punto umbilical aislado no excede uno [17] . A grandes rasgos, la principal dificultad radica en resolver la singularidad generada por los puntos de redondeo. Todos los autores mencionados anteriormente resuelven la singularidad por inducción sobre la "degeneración" del punto de redondeo, pero ninguno de los autores describió claramente el proceso de inducción.

En 2002, Vladimir V. Ivanov revisó el trabajo de Hamburger sobre superficies analíticas y escribió lo siguiente [26] :

En primer lugar, pensando en las superficies analíticas, declaramos con total responsabilidad que Carathéodory tenía razón. En segundo lugar, sabemos cómo se puede probar esto rigurosamente. En tercer lugar, pretendemos presentar aquí una prueba que, en nuestra opinión, convencerá a cualquier lector, si está realmente dispuesto a superar con nosotros un camino largo y nada fácil.

Al principio siguió el camino propuesto por Gerrit Bol y Tilla Klotz, pero luego propuso su propia forma de resolver la singularidad, en la que el valor crítico pertenece al análisis complejo (más precisamente, una técnica que usa funciones analíticas implícitas , el teorema preparatorio de Weierstrass , Series de Puiseux y sistemas de raíces circulares ).

En 2008 Gilfoyle y Klingenberg anunciaron una prueba de la conjetura global para superficies de suavidad C 3,\alpha . Su método utiliza la geometría neutra de Kähler de la cuártica de Klein , el flujo de curvatura media , el teorema del índice de Riemann-Roch y el teorema de Sard-Smale sobre valores regulares de los operadores de Fredholm [27] . Sin embargo, su artículo nunca fue publicado [28] .

En 2012, Gomi y Howard demostraron, utilizando la transformada de Möbius , que la conjetura global para superficies con suavidad C2 se puede reformular en términos del número de puntos umbilicales de las gráficas de algunos gradientes asintóticos [29] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Hamburguesa, 1924 .
  2. ↑ Universidad de Breslavia, 1935 .
  3. ↑ Littlewood, 2011 .
  4. ↑ 1 2 3 Hamburguesa, 1940 , p. 63-86.
  5. ↑ 1 2 3 Hamburguesa, 1941 , p. 175-228.
  6. ↑ 1 2 3 Hamburguesa, 1941 , p. 229-332.
  7. ↑ Struik, 1931 , pág. 49-62.
  8. ↑ Yau, 1982 .
  9. ↑ Berger, 2003 .
  10. ↑ Berger, 2010 .
  11. ↑ Nikolaev, 2001 .
  12. ↑ Struik, 1978 .
  13. ↑ Toponogov, 2012 .
  14. ↑ Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin, 1988 .
  15. ↑ Cohn-Vossen, 1929 .
  16. ↑ Blaschke, 1929 .
  17. ↑ 1 2 Hamburguesa, 1922 , p. 258 - 262.
  18. ↑ Hamburguesa, 1924 , p. 50 - 66.
  19. ↑ Bol, 1944 , pág. 389-410.
  20. ↑ Blaschke, 1945 , pág. 201–208.
  21. ↑ Klotz, 1959 , pág. 277-311.
  22. ↑ Scherbel, 1993 .
  23. ↑ Tito, 1973 , pág. 43-77.
  24. ↑ Sotomayor, Mello, 1999 , pág. 49-58.
  25. ↑ Gutiérrez, Sotomayor, 1998 , p. 291-322.
  26. ↑ Ivanov, 2002 , pág. 315.
  27. ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013 .
  28. ↑ Ghomi, 2017 .
  29. ↑ Ghomi, Howard, 2012 , pág. 4323-4335.

Literatura