Teorema de los cuatro vértices

El teorema de los cuatro vértices establece que la función de curvatura de una curva plana lisa cerrada simple tiene al menos cuatro extremos locales (en particular, al menos dos máximos locales y al menos dos mínimos locales). El nombre del teorema refleja la convención de llamar vértices a los puntos extremos de la función de curvatura .

Ejemplos

• Una elipse con semiejes desiguales tiene exactamente cuatro vértices: dos máximos de curvatura locales en las intersecciones de la elipse con el eje mayor y dos mínimos locales en las intersecciones con el eje menor.
• En un círculo , todos los puntos son máximos locales y mínimos locales de la curvatura, por lo que hay infinitos vértices en él.
• Hay curvas cerradas que se cortan a sí mismas con dos vértices; tal es, por ejemplo , el caracol de Pascal con auto-intersección. Es decir, la condición de simplicidad de la curva en el teorema es esencial.

Historia

El teorema de los cuatro vértices fue probado originalmente para curvas convexas (es decir, curvas con curvatura estrictamente positiva) en 1909 por el matemático indio Mukhopadhyaya [1] . Su prueba usa el hecho de que los puntos de la curva son extremos de la función de curvatura si y solo si el círculo tangente tiene tangencia de tercer orden con la curva en ese punto (en general, el círculo tangente tiene solo tangencia de segundo orden con la curva) . El teorema de los cuatro vértices fue probado en el caso general por Adolf Kneser en 1912 utilizando las ideas de la geometría proyectiva [2] . Ahora se conocen varias pruebas basadas en diferentes ideas. [3] Uno de los más sencillos propuesto por Robert Oserman se basa en la consideración de un círculo de expansión mínimo . [cuatro]

Teorema de la inversa

El teorema de los cuatro vértices inversos establece que cualquier función real continua en un círculo que tiene al menos dos puntos máximos y al menos dos puntos mínimos es una función de curvatura de alguna curva plana cerrada simple. El teorema fue probado para funciones estrictamente positivas en 1971 por Hermann Gluck como un caso especial del teorema general sobre la curvatura predeterminada de n-esferas [5] . El teorema completo de los cuatro vértices inversos fue probado por Bjorn Dahlberg poco antes de su muerte en enero de 1998 y publicado póstumamente [6] . La demostración de Dahlberg utiliza el orden del punto con respecto a la curva , que es una versión topológica de la demostración del teorema fundamental del álgebra [7] .

Aplicaciones en mecánica

Una de las consecuencias del teorema es que un disco plano homogéneo que rueda sobre un plano horizontal bajo la acción de la gravedad tiene al menos 4 puntos de equilibrio. La versión discreta de esta declaración dice que no puede haber un polígono monoestático . En el espacio tridimensional, sin embargo, existe un poliedro monoestático y un objeto homogéneo convexo con dos puntos de equilibrio (uno estable y otro inestable) - gömböts .

Variaciones y generalizaciones

• Cualquier curva cerrada suave de ancho constante tiene al menos 6 vértices.

• Teorema de Pestov-Ionin : para cualquier curva regular cerrada suave simple en el plano, hay dos puntos donde el círculo tangente está contenido en la región de la curva acotada; también hay dos puntos, el círculo tangente en el que está contenido en la región cerrada exterior de la curva acotada.
  • Cualquiera de estos cuatro puntos es un vértice de la curva. Lo contrario generalmente no es cierto, por lo que el teorema de Pestov-Ionin generaliza el teorema de los cuatro vértices.

• Hay varias versiones discretas del teorema para polígonos convexos y no convexos [8] . Aquí hay algunos de ellos:
  • ( Bilinsky ) La secuencia de esquinas de un polígono equilátero convexo tiene al menos cuatro extremos .
  • La secuencia de longitudes de los lados de un polígono equiángulo convexo tiene al menos cuatro extremos .
  • (Musin) Un círculo circunscrito alrededor de tres vértices consecutivos de un polígono se llama extremo si incluye todos los vértices restantes del polígono, o no contiene ninguno de ellos. Un polígono convexo se llama general si no hay cuatro vértices en el mismo círculo. Cualquier polígono convexo general tiene al menos cuatro círculos extremos.
  • ( Legendre - Cauchy ) Dos n -ágonos convexos con las mismas longitudes de los lados correspondientes tienen al menos cuatro cambios de signo de la secuencia de diferencias de los ángulos correspondientes, o no tienen cambios de signo.
  • ( A.D. Aleksandrov ) Dos n - gons convexos con lados paralelos correspondientes y área igual tienen al menos 4 cambios de signo en la secuencia de diferencias en las longitudes de los lados correspondientes, o ningún cambio de signo.

Véase también

• La última conjetura geométrica de Jacobi

Notas

1. ↑ S. Mukhopadhyaya. Nuevos métodos en la geometría de un arco plano // Bull. Matemáticas de Calcuta. soc. - 1909. - T. 1 . - S. 21-27 .
2. ↑ Adolf Kneser. Festschrift Heinrich Weber. - Teubner, 1912. - S. 170-180.
3. ↑ Jackson, S. B. Vértices para curvas planas. Toro. amer Matemáticas. soc. 50 (1944).
4. ↑ Osserman, Robert (1985), El teorema de cuatro o más vértices , American Mathematical Monthly T. 92 (5): 332–337 , DOI 10.2307/2323126  .
5. ↑ Herman Gluck. Lo contrario al teorema de los cuatro vértices // L'Enseignement Math .. - 1971. - T. 17 . - S. 295-309 .
6. ↑ Bjorn Dahlberg. El inverso del teorema de los cuatro vértices  // Proc. amer Matemáticas. soc. - 2005. - T. 133 , núm. 7 . - S. 2131-2135 . -doi : 10.1090 / S0002-9939-05-07788-9 . Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2007.
7. ↑ DeTruck, D., Gluck, H., Pomerleano, D. y Vick, D.S. El teorema de los cuatro vértices y su recíproco  // Avisos de la American Mathematical Society. - 2007. - T. 54 , núm. 2 . - S. 9268 . — . — arXiv : matemáticas/0609268 . Archivado desde el original el 3 de abril de 2018.
8. ↑ Igor Pak Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry Archivado el 29 de enero de 2009. , Sección 21.

Literatura

• Clase 10 en Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Diversión Matemática . - MTSNMO, 2011. - 512 págs. - 2000 copias.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .