Operador hipoelíptico

Un operador hipoelíptico es un operador diferencial parcial cuya solución fundamental pertenece a la clase en todos los puntos del espacio, excepto en el origen. ${\displaystyle C^{\infty ))$

Definición

Sea un polinomio real en variables ${\ estilo de visualización P (\ xi)}$ ${\ estilo de visualización \ xi = (\ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {n}):}$

P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\ alfa }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n)),

donde y . ${\ estilo de visualización \ alfa = (\ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {n}) \ en \ mathbb {Z} _ {+}^ {n}}$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n))$

Definimos el operador diferencial correspondiente:

P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum_{|\alpha |\leq m}a_{\alpha } {\frac {\parcial ^{|\alpha |}}{\parcial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \parcial x_{n}^{\alpha _{n}}}},

dónde

D=(D_{1},\ldots,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j))},\quad j=1, \ldots, n.

Una función generalizada se llama solución fundamental del operador diferencial si es una solución a la ecuación donde es la función delta de Dirac . Un operador se llama hipoelíptico si pertenece a la clase para todos . [1] [2] ${\mathcal {E}}(x)$ ${\ estilo de visualización P (D)}$ $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ $\delta(x)$ ${\ estilo de visualización P (D)}$ ${\mathcal {E}}(x)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $x\neq 0$

Propiedades

El siguiente criterio de hipoelipticidad se utiliza a menudo como definición de un operador hipoelíptico: [1]

Teorema 1. Un operador es hipoelíptico si y solo si para cualquier dominio abierto cualquier solución (función generalizada) de la ecuación ${\ estilo de visualización P (D)}$ $U\subconjunto {\mathbb {R}}^{n}$ $tu(x)$

P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,

con cualquier lado derecho también pertenece a la clase $f\in C^{\infty}(U)$ $u\in C^{\infty}(U).$

El siguiente criterio algebraico de hipoelipticidad, establecido por Hörmander , también se cumple : [1]

Teorema 2. Un operador es hipoelíptico si y sólo si ${\ estilo de visualización P (D)}$

{\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,

para todos donde es la unidad imaginaria . $k=(k_{1},\ldots,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ $i$

Ejemplos

Cualquier operador elíptico es hipoelíptico, como el operador de Laplace [2] .
El operador de calor es hipoelíptico pero no elíptico [2] .
El operador de d'Alembert no es hipoelíptico [2] .

Notas

↑ 1 2 3 Hörmander L. Análisis de operadores diferenciales parciales lineales. - Moscú: Mir, 1986-1988.
↑ 1 2 3 4 Vladimirov VS. Funciones generalizadas en física matemática. - Moscú: Nauka, 1979.

Literatura

Hormander L. Análisis de operadores diferenciales lineales con derivadas parciales. - Moscú: Mir, 1986-1988.
Vladimirov vs. Funciones generalizadas en física matemática. - Moscú: Nauka, 1979.
Yu.V. Egorov , M. A. Shubin. Ecuaciones diferenciales parciales lineales. Fundamentos de la Teoría Clásica . — Resultados de la ciencia y la tecnología. Ser. Moderno problema estera. Fundam. direcciones. - Moscú: VINITI, 1988. - T. 30. - S. 5-255.
J. Trev. Clases magistrales sobre ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes constantes. - Moscú, 1965.

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

Temas relacionados