Operador D'Alembert

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El operador de d'Alembert ( operador de d'Alembert, operador de ondas, d'Alembert ) es un operador diferencial de segundo orden

\square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2}}},

donde es el operador de Laplace , es una constante. A veces el operador se escribe con el signo contrario. $\Delta$ $C$

Tiene la forma en coordenadas cartesianas :

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2))}+{\frac { \parcial ^{2}u}{\parcial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^ {2}}},

permitiendo una generalización directa a cualquier dimensión espacial finita , tanto mayor como menor que tres (dicha generalización también se denomina operador de d'Alembert, con la adición, si no está claro por el contexto, " -dimensional"). $norte$

En el caso de un vector, el operador de d'Alembert toma la forma:

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}\mathbf {A} } {\ t parcial^{2))))$ [1] , dondees un vector, ${\ estilo de visualización \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\ fracción {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

$\square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\parcial ^{2}A_{x}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^ {2}A_{x}}{\parcial y^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}A_{x}}{\parcial z^{2}}}{\Biggr )}\ mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\parcial ^{2}A_{y}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}A_{y} }{\parcial y^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}A_{y)){\parcial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\ biggl (}{\frac {\parcial ^{2}A_{z}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}A_{z}}{\parcial y^{ 2}}}+{\frac {\parcial ^{2}A_{z}}{\parcial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z }\mathbf {k} )$

Nombrado en honor a J. D'Alembert (1747), quien consideró su forma más simple al resolver una ecuación de onda unidimensional .

Se utiliza en electrodinámica , acústica y otros problemas de propagación de ondas (principalmente lineales). El operador D'Alembert (de la dimensión correspondiente) está incluido en la ecuación de onda de cualquier dimensión, formando su base, así como en la ecuación de Klein-Gordon-Fock .

Es fácil ver que el operador de d'Alembert es una generalización del operador de Laplace al caso del espacio de Minkowski .

Escritura en coordenadas curvilíneas

Operador D'Alembert en coordenadas esféricas :

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\parcial }{\parcial r}}\left(r^{2}{\frac {\parcial u}{\parcial r}}\ derecha)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\parcial }{\parcial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\parcial u} {\parcial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2}}};

en coordenadas cilíndricas :

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\parcial }{\parcial \rho }}\left(\rho {\frac {\parcial u}{\parcial \rho }}\right )+{\frac {1}{\rho ^{2))}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial \varphi ^{2))}+{\frac {\parcial ^{2 }u}{\parcial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2))} ;

en coordenadas curvilíneas generales (para el espacio-tiempo):

\square u\equiv {\frac {1}({\sqrt {-g)))){\frac {\partial}{\partial x^{\nu ))}\left({\sqrt {-g} }\,g^{{\mu \nu }}{\frac {\parcial u}{\parcial x^{\mu }}}\derecha),

donde es el determinante de la matriz , compuesta por los coeficientes del tensor métrico . $gramo$ $\|g_{{\mu\nu))\|$ $g_{\mu\nu}$

Notas

↑ I.V. Savelyev "Curso de física general" Volumen II párrafo "Ecuación de onda" página 398

Literatura

V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Diccionario matemático de educación superior". Editorial MPI 1984.
IV Savelyev "Curso de física general" Volumen II

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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