Rotor (operador diferencial)

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Rotor , rotación o torbellino  es un operador diferencial vectorial sobre un campo vectorial .

Indicado de diferentes formas:

El resultado de la acción del operador rotor sobre un campo vectorial específico se denomina rotor de campo o simplemente rotor y es un nuevo campo vectorial [3] :

El campo (la longitud y la dirección del vector en cada punto del espacio) caracteriza en cierto sentido ( ver más abajo ) la componente rotacional del campo en los puntos correspondientes.

Definición

El rotor de un campo vectorial   es un vector cuya proyección en cada dirección es el límite de la relación de la circulación del campo vectorial a lo largo del contorno , que es el borde de un área plana , perpendicular a esta dirección, al valor de este área (área), cuando el tamaño del área tiende a cero, y el área misma se contrae en el punto [4] :

.

La dirección de recorrido del contorno se elige de modo que, visto en la dirección , el contorno se recorra en el sentido de las agujas del reloj [5] .

La operación así definida existe, estrictamente hablando, sólo para campos vectoriales sobre espacio tridimensional. Para generalizaciones a otras dimensiones, ver más abajo .

Una definición alternativa puede ser una definición computacional directa de un operador diferencial, que se reduce a

,

que se puede escribir en coordenadas específicas como se muestra a continuación .

, donde  está el punto en el que se determina el rotor del campo ,  - alguna superficie cerrada que contiene un punto en el interior y se reduce a él en el límite,  es el vector de un elemento de esta superficie, cuya longitud es igual al área del elemento de superficie, ortogonal a la superficie en un punto dado, el signo denota un producto vectorial,  es el volumen dentro de la superficie .

Esta última definición es tal que da inmediatamente el vector rotor, sin necesidad de definir las proyecciones sobre los tres ejes por separado.

Imagen intuitiva

Si  es el campo de velocidad del gas (o flujo de líquido), entonces  es un vector proporcional al vector de velocidad angular de un grano de polvo (o bola) muy pequeño y liviano en el flujo (y arrastrado por el movimiento de gas o líquido; aunque el centro de la bola se puede fijar si se desea, solo para que pueda girar libremente a su alrededor).

Específicamente , ¿dónde  está esta velocidad angular?

Esta analogía se puede dibujar con bastante rigor ( ver más abajo ). La definición básica por circulación dada anteriormente puede considerarse equivalente a la así obtenida.

Expresión en coordenadas específicas

Fórmula del rotor en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, el rotor (según la definición anterior) se calcula de la siguiente manera (aquí  , denotado por un campo vectorial con componentes cartesianas , y  son grupos de coordenadas cartesianas):

,

o

(que puede considerarse una definición alternativa, esencialmente coincidente con la definición al comienzo de la sección, al menos bajo la condición de que los componentes del campo sean diferenciables).

Por conveniencia, podemos representar formalmente el rotor como el producto vectorial del operador nabla (a la izquierda) y el campo vectorial:

(la última igualdad representa formalmente el producto vectorial como determinante ).

Fórmula del rotor en coordenadas curvilíneas

Una expresión general conveniente para un rotor, adecuada para coordenadas curvilíneas arbitrarias en el espacio 3D, es usar el tensor de Levi-Civita (usando superíndices, subíndices y la regla de suma de Einstein ):

,

donde  es la notación de coordenadas del tensor de Levi-Civita, incluido el factor ,  es el tensor métrico en la representación con superíndices, y  son las derivadas covariantes de las coordenadas contravariantes del vector .

Esta expresión también se puede reescribir como:

.

Fórmula del rotor en coordenadas curvilíneas ortogonales

,

donde  están los coeficientes de Lame .

Generalizaciones

La misma fórmula se puede escribir en términos del producto exterior con el operador nabla: el rotor y la divergencia (y seguirán siendo números reales) se pueden escribir de la siguiente manera: , .

Propiedades básicas

. , . . Así, diferentes campos vectoriales pueden tener el mismo rotor. En este caso, necesariamente se diferenciarán por un campo irrotacional (es decir, localmente, por el gradiente de algún campo escalar). , . . Por tanto, si y  son campos vectoriales irrotacionales, su producto vectorial no tendrá divergencias y tendrá localmente un potencial vectorial. Por ejemplo, si , y , es fácil encontrar el vector potencial para : . Localmente, cada campo vectorial sin divergencia en un dominio 3D es el producto cruzado de dos gradientes. . .

Interpretación física

Cuando un medio continuo se mueve , la distribución de sus velocidades (es decir, el campo de velocidad del flujo del fluido) cerca del punto O viene dada por la fórmula de Cauchy-Helmholtz:

,

donde  es el vector de rotación angular del elemento del medio en el punto , y  es la forma cuadrática de las coordenadas, es el potencial de deformación del elemento del medio.

Por lo tanto, el movimiento de un medio continuo cerca de un punto consta de movimiento de traslación (vector ), movimiento de rotación (vector ) y movimiento potencial: deformación (vector ). Aplicando la operación del rotor a la fórmula de Cauchy-Helmholtz, obtenemos que en el punto el elemento de entorno de igualdad

Como imagen intuitiva, como se describió anteriormente, aquí se puede utilizar la idea de la rotación de una pequeña mota de polvo arrojada al flujo (arrastrada por el flujo consigo mismo, sin su perturbación perceptible) o la rotación de un pequeño uno colocado en el flujo con un eje fijo (sin inercia, girado por el flujo, sensiblemente sin distorsionarlo) ruedas con palas rectas (no helicoidales). Si uno u otro, al mirarlo, gira en sentido contrario a las agujas del reloj, esto significa que el vector del rotor del campo de velocidad del flujo en este punto tiene una proyección positiva hacia nosotros.

La fórmula de Kelvin-Stokes

La circulación de un vector a lo largo de un contorno cerrado, que es el límite de cierta superficie, es igual al flujo del rotor de este vector a través de esta superficie:

Un caso especial de la fórmula de Kelvin-Stokes para una superficie plana es el contenido del teorema de Green .

Ejemplos

Un ejemplo simple

Considere un campo vectorial dependiendo de las coordenadas y así:

.

Calculemos el rotor:

Como era de esperar, la dirección coincidió con la dirección negativa del eje . En este caso, el rotor resultó ser una constante, es decir, el campo resultó ser homogéneo, independiente de las coordenadas (lo cual es natural para la rotación de un cuerpo rígido). que es maravilloso

La velocidad angular de rotación en este ejemplo es la misma en cualquier punto del espacio (el ángulo de rotación de un grano de polvo pegado a un cuerpo sólido no depende del lugar donde esté pegado el grano de polvo). Por lo tanto, la gráfica del rotor no es demasiado interesante:

Un ejemplo más complejo

Ahora considere un campo vectorial un poco más complejo [9] :

.

Su horario:

Es posible que no veamos ninguna rotación, pero mirando más de cerca a la derecha, vemos un campo más grande en, digamos, el punto que en el punto . Si instaláramos allí una pequeña rueda de paletas, el mayor caudal del lado derecho haría que la rueda girara en el sentido de las agujas del reloj, lo que corresponde a atornillar en el sentido . Si tuviéramos que colocar la rueda en el lado izquierdo del campo, el mayor flujo en su lado izquierdo haría que la rueda girara en sentido contrario a las agujas del reloj, lo que corresponde a atornillar en la dirección . Verifiquemos nuestra conjetura con un cálculo:

De hecho, el atornillado se produce en la dirección negativa y positiva , como era de esperar. Dado que este rotor no es el mismo en todos los puntos, su gráfico parece un poco más interesante:

Se puede ver que la gráfica de este rotor no depende de o (como debe ser) y está dirigida a lo largo de positivo y en la dirección de negativo .

Ejemplos explicativos

Un importante ejemplo contrario a la intuición

Debe tenerse en cuenta que la dirección del rotor puede no corresponder a la dirección de rotación del campo (que sea el campo de velocidades del fluido), que parece obvio, correspondiente a la dirección del flujo. Puede tener una dirección opuesta al flujo y, en particular, el rotor puede resultar igual a cero, aunque las líneas de corriente estén dobladas o incluso representen círculos exactos). En otras palabras, la dirección de la curvatura de las líneas vectoriales de un campo vectorial no está relacionada de ninguna manera con la dirección del vector del rotor de este campo.

Consideremos tal ejemplo. Deje que el campo de velocidad de flujo de fluido se defina mediante la fórmula:

, .

Si , el flujo transporta la partícula de derecha a izquierda (es decir, en sentido antihorario para un observador desde arriba a lo largo del eje  ) , sin embargo, si y  es una función decreciente, entonces el rotor se dirige hacia abajo en todas partes, lo que significa que cada partícula de fluido es torcido en el sentido de las agujas del reloj (mientras que también y deformado).

Lo anterior significa que el medio como un todo puede girar alrededor del observador en una dirección, y cada uno de sus pequeños volúmenes puede girar en la dirección opuesta, o no girar en absoluto.

Notas

  1. También en alemán, de donde, aparentemente, esta designación pasó al ruso, y en casi todas partes de Europa, excepto en Inglaterra, donde dicha designación se considera "alternativa" (quizás debido a la disonancia: inglés  rot  - rot, decay) .
  2. O. Heaviside . Las relaciones entre la fuerza magnética y la corriente eléctrica . Archivado el 22 de julio de 2016 en Wayback Machine . // El electricista, 1882.
  3. Más precisamente - si  - un campo pseudo- vectorial , entonces  - un campo vectorial ordinario (vector  - polar), y viceversa, si el campo  es un campo de un vector ordinario (polar), entonces  - un campo pseudo-vectorial.
  4. La contracción a un punto es un requisito previo, simplemente tender a cero no es suficiente, porque queremos obtener la característica del campo en un punto en particular.
  5. La convención habitual, consistente con la definición a través del producto vectorial con el operador nabla.
  6. La equivalencia de estas definiciones, si el límite existe y no depende del método de contracción a un punto, es visible si elegimos la superficie de la segunda definición en forma de superficie cilíndrica con bases obtenidas por transferencia paralela de la sitio de la primera definición por una distancia muy pequeña en dos direcciones opuestas ortogonalmente a . En el límite, deberían acercarse más rápido que el tamaño de . Entonces la expresión de la segunda definición se divide en dos términos, uno que contiene la integral sobre la superficie lateral coincide con la primera definición, y el segundo da cero en la proyección sobre la normal a las bases, ya que él mismo es ortogonal a ella en la bases En cambio, puede considerar solo un pequeño paralelepípedo como una superficie, entonces no es tan fácil de inmediato estrictamente, pero en general la analogía es clara.
  7. Formalmente similar a la definición de divergencia a través del flujo a través de una superficie: .
  8. La cláusula de localidad es importante para el caso general cuando los campos considerados aquí pueden definirse en un espacio (variedad) o dominio de topología no trivial, y cuando las condiciones también se cumplen en términos generales en un espacio o dominio de topología no trivial. topología trivial. Para el caso de un espacio euclidiano o su región simplemente conexa, la cláusula de localidad no es necesaria; Es decir, entonces existe tal campo escalar que será cierto en todas partes en este espacio o esta región.
  9. La implementación física más simple de dicho campo (hasta una constante aditiva que no afecta el cálculo del rotor, ya que ; además, si se desea, esta constante se puede poner a cero cambiando a un marco de referencia asociado con el más rápido agua que fluye en el centro del chorro) - fluido de flujo laminar (viscoso) entre dos planos sólidos paralelos perpendiculares al eje , bajo la influencia de un campo de fuerza uniforme (gravedad) o diferencia de presión. El flujo de líquido en una tubería con una sección transversal circular da la misma dependencia , por lo tanto, el cálculo del rotor que se da a continuación también es aplicable a este caso (la forma más fácil es tomar el eje coincidente con el eje de la tubería, y aunque la dependencia ya no será una constante, será cero en , como en el ejemplo principal, es decir, el cálculo y respuesta para cualquier plano que pase por el eje de la tubería es el mismo, y esto resuelve el problema).
  10. Diccionario matemático de educación superior. V. T. Vodnev, A. F. Naumovich, N. F. Naumovich

Véase también