Logaritmo complejo

El logaritmo complejo es una función analítica que se obtiene extendiendo el logaritmo real a todo el plano complejo (excepto cero). Hay varias formas equivalentes de tal distribución. Esta función es ampliamente utilizada en análisis complejos . A diferencia del caso real, la función de logaritmo complejo es multivaluada .

Definición y propiedades

Para números complejos, el logaritmo se puede definir de la misma forma que para los números reales, es decir, como una inversión de una función exponencial . En la práctica, se utiliza casi únicamente el logaritmo complejo natural, cuya base es el número de Euler : se suele denotar . $mi$ $\mathrm {Ln} \,z$

El logaritmo natural de un número complejo se define [1] como una solución a la ecuación $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Otras definiciones, equivalentes a esta, se dan a continuación.

En el campo de los números complejos, la solución de esta ecuación, a diferencia del caso real, no está unívocamente determinada. Por ejemplo, según la identidad de Euler , ; sin embargo también . Esto se debe al hecho de que la función exponencial a lo largo del eje imaginario es periódica (con período ) [2] , y la función toma el mismo valor infinitas veces. Por lo tanto, la función logarítmica compleja tiene varios valores . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ $2\pi$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

El cero complejo no tiene logaritmo porque el exponente complejo no toma valor cero. Distinto de cero se puede representar en forma exponencial: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

donde es un entero arbitrario

k

Entonces se encuentra por la fórmula [3] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Aquí está el logaritmo real. De esto se sigue: $\ln \,r=\ln \,|z|$

El logaritmo complejo existe para cualquier , y su parte real está determinada de forma única, mientras que la parte imaginaria tiene una infinidad de valores que difieren en un múltiplo entero $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2 \ pi .$

Se puede ver en la fórmula que uno y solo uno de los valores tiene una parte imaginaria en el intervalo . Este valor se denomina valor principal del logaritmo natural complejo [1] . La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama la rama principal del logaritmo y se denota . A veces también indican el valor del logaritmo, que no se encuentra en la rama principal. Si es un número real, entonces el valor principal de su logaritmo coincide con el logaritmo real habitual. ${\ estilo de visualización (- \ pi, \ pi]}$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

También se deduce de la fórmula anterior que la parte real del logaritmo se determina de la siguiente manera a través de los componentes del argumento:

\nombre del operador {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

La figura muestra que la parte real en función de las componentes es centralmente simétrica y depende únicamente de la distancia al origen. Se obtiene girando la gráfica del logaritmo real alrededor del eje vertical. A medida que se acerca a cero, la función tiende a $-\infty.$

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula [3] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Ejemplos de valores para el logaritmo complejo

Aquí está el valor principal del logaritmo ( ) y su expresión general ( ) para algunos argumentos: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1 )

Debe tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que tienen varios valores y, por lo tanto, la igualdad de estas expresiones no se deriva de la igualdad de los logaritmos de ninguna expresión. Un ejemplo de razonamiento erróneo :

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

es un error evidente.

Tenga en cuenta que el valor principal del logaritmo está a la izquierda y el valor de la rama subyacente ( ) está a la derecha. La razón del error es el uso descuidado de la propiedad , que, en términos generales, en el caso complejo implica todo el conjunto infinito de valores del logaritmo, y no solo el valor principal. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

La función logarítmica compleja y la superficie de Riemann

En el análisis complejo , en lugar de considerar funciones de varios valores en el plano complejo , se tomó una decisión diferente: considerar la función como de un solo valor, pero definida no en el plano, sino en una variedad más compleja , que se llama Riemann . superficie [4] . La función logarítmica compleja también pertenece a esta categoría: su imagen (ver figura) consiste en un número infinito de ramas retorcidas en espiral. Esta superficie es continua y simplemente conexa . El único cero de la función (de primer orden) se obtiene en . Puntos singulares: y (puntos de ramificación de orden infinito) [5] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

En virtud de ser simplemente conexa, la superficie de Riemann del logaritmo es un recubrimiento universal [6] para el plano complejo sin un punto . ${\ estilo de visualización 0}$

Continuación analítica

El logaritmo de un número complejo también se puede definir como la continuación analítica del logaritmo real en todo el plano complejo . Deje que la curva comience en uno, termine en z, no pase por cero y no cruce la parte negativa del eje real. Entonces, el valor principal del logaritmo en el punto final de la curva se puede determinar mediante la fórmula [5] : $\Gama$ $w$ $\Gama$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Si es una curva simple (sin autointersecciones), entonces para los números que se encuentran en ella, se pueden aplicar identidades logarítmicas sin temor, por ejemplo: $\Gama$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\para todo z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

La rama principal de la función logarítmica es continua y diferenciable en todo el plano complejo , excepto en la parte negativa del eje real, en la que salta la parte imaginaria . Pero este hecho es consecuencia de la limitación artificial de la parte imaginaria del valor principal por el intervalo . Si consideramos todas las ramas de la función, entonces la continuidad tiene lugar en todos los puntos excepto en el cero, donde la función no está definida. Si se permite que la curva cruce la parte negativa del eje real, entonces la primera intersección transfiere el resultado de la rama de valor principal a la rama vecina, y cada intersección subsiguiente provoca un desplazamiento similar a lo largo de las ramas de la función logarítmica [5 ] (ver figura). $2\pi$ ${\ estilo de visualización (- \ pi, \ pi]}$ $\Gama$

De la fórmula de continuación analítica se sigue que en cualquier rama del logaritmo [2] :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \sobre z}

Para cualquier círculo que encierra un punto : $S$ ${\ estilo de visualización 0}$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

La integral se toma en la dirección positiva (en sentido antihorario ). Esta identidad subyace en la teoría de los residuos .

También se puede definir la continuación analítica del logaritmo complejo utilizando versiones de la serie de Mercator conocidas para el caso real:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\puntos

(Fila 1)

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac{x^{7}}{7}}+\puntos\derecha)

(Fila 2)

Sin embargo, de la forma de estas series se sigue que en la unidad la suma de la serie es igual a cero, es decir, la serie se refiere solo a la rama principal de la función multivaluada del logaritmo complejo. El radio de convergencia de ambas series es 1.

Relación con funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas

Dado que las funciones trigonométricas complejas están relacionadas con la exponencial ( fórmula de Euler ), entonces el logaritmo complejo como el inverso de la función exponencial está relacionado con las funciones trigonométricas inversas [7] [8] :

\nombre de operador {Arcsen} z=-i\nombre de operador {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\nombre del operador {Arccos} z=-i\nombre del operador {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Las funciones hiperbólicas en el plano complejo se pueden considerar como funciones trigonométricas del argumento imaginario, así que aquí hay una conexión con el logaritmo [8] :

\nombre del operador {Arsh} z=\nombre del operador {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- seno hiperbólico inverso

\operatorname {Arco} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

es el coseno hiperbólico inverso

\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

es la tangente hiperbólica inversa

\operatorname {Arco} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

es la cotangente hiperbólica inversa

Reseña histórica

Los primeros intentos de extender los logaritmos a los números complejos se realizaron entre los siglos XVII y XVIII por Leibniz y Johann Bernoulli , pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto del logaritmo en sí aún no estaba claro. definido [9] . La discusión sobre este asunto fue primero entre Leibniz y Bernoulli, ya mediados del siglo XVIII entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y d'Alembert creían que se debía definir , mientras que Leibniz defendía que el logaritmo de un número negativo es un número imaginario [9] . La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no es diferente de la moderna [10] . Aunque la controversia continuó (d'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el enfoque de Euler a fines del siglo XVIII recibió reconocimiento universal. $\registro(-x)=\registro(x)$

En el siglo XIX, con el desarrollo del análisis complejo , el estudio del logaritmo complejo estimuló nuevos descubrimientos. Gauss en 1811 desarrolló una teoría completa de la polisemia de la función logarítmica [11] , definida como la integral de . Riemann , basándose en hechos ya conocidos sobre esta y otras funciones similares, construyó una teoría general de las superficies de Riemann . ${\frac{1}{z))$

El desarrollo de la teoría de las asignaciones conformes mostró que la proyección de Mercator en cartografía , que surgió incluso antes del descubrimiento de los logaritmos (1550), puede describirse como un logaritmo complejo [12] .

Literatura

Teoría de los logaritmos

Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . - M. : Nauka, 1973. - 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - ed. 6to. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

historia de los logaritmos

Matemáticas del siglo XVIII // Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ed.). Matemáticas del siglo XIX. Geometría. Teoría de las funciones analíticas. - M. : Nauka, 1981. - T. II.

Notas

↑ 1 2 Función logarítmica. // Enciclopedia matemática (en 5 tomos) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , Volumen II, págs. 520-522..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1973 , p. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja, 1967 , p. 92-94..
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja, 1967 , p. 45-46, 99-100..
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Topología visual . - M. : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, número 21).
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , Volumen II, págs. 522-526..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1973 , p. 624..
↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen III, 1972 , p. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. En dos tomos. - M. : Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231..
↑ Matemáticas del siglo XIX. Volumen II: Geometría. Teoría de las funciones analíticas, 1981 , p. 122-123..
↑ Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior . - M. : Nauka, 1987. - T. II. Geometría. - S. 159-161. — 416 pág.