Identidades logarítmicas

Este artículo contiene un resumen de varias identidades algebraicas y analíticas relacionadas con logaritmos . Estas identidades son especialmente útiles para resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas que contienen logaritmos.

Además, se supone que todas las variables son reales , las bases del logaritmo y las expresiones logarítmicas son positivas y la base del logaritmo no es igual a 1. Para una generalización a números complejos, consulte el artículo Logaritmo complejo .

Identidades algebraicas

De la definición del logaritmo se sigue la identidad logarítmica básica [1] :

a^{\log _{a}b}=b

Algunas igualdades más, obvias a partir de la definición del logaritmo:

{\ estilo de visualización \ registro _ {a} 1 = 0}

{\ estilo de visualización \ registro _ {a} a = 1}

\log _{a}a^{b}=b

Logaritmo del cociente producto, grado y raíz

Resumen de identidades [2] :

	Fórmula	Ejemplo	Prueba
Trabajar	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3= 5$
cociente de división	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
La licenciatura	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Prueba $\log _{a}{x^{p}}=y$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac{y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac{y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
grado en la base	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p))\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}( x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {({\frac {\pi }{6}})))={\frac {\log _{2}{\frac {1}{ 2}}}{10}}=-{\frac{1}{10}}=-0,1$	Prueba $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac{log_{a}{x}}{p}}=y$
Raíz	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{(x)}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _ {a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1,5$	Prueba $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x))$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac{log_{a}{x}}{p}}=y$
Raíz en la base	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \arctan {1})}=2\cdot \log _{\pi }{(4\cdot {\frac {\pi }{ 4)))}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Prueba $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac{y}{p}}=x$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac{y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac{y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

Hay una generalización obvia de las fórmulas anteriores para el caso en que se permiten valores negativos de variables, por ejemplo:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

Las fórmulas para el logaritmo del producto se pueden generalizar fácilmente a un número arbitrario de factores:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\puntos x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\ puntos +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\puntos x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\ puntos +\log _{a}|x_{n}|

Logaritmo de suma y diferencia

Aunque el logaritmo de la suma (o diferencia) no se expresa en términos de los logaritmos de los términos, las siguientes fórmulas pueden resultar útiles.

\log _{a}(b+c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1+{\frac {c}{b))\right)

\log _{a}(bc)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1-{\frac {c}{b))\right),\quad

aquí

b>c

Generalización:

\log _{a}\sum \limits _{k=1}^{N}b_{k}=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+ \sum \limits _{k=2}^{N}{\frac {b_{k}}{b_{1}}}\right)=\log _{a}b_{1}+\log _{a }\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}a^{\left(\log _{a}b_{k}-\log _{a}b_{1}\right) }\Correcto)

Reemplazando la base del logaritmo

El logaritmo a la base se puede convertir [3] al logaritmo a otra base : $\log _{a}b$ $a$ $C$

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a))

Consecuencia (cuando ) es una permutación de la base y la expresión logarítmica: $b=c$

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Otras identidades

Si las expresiones para la base del logaritmo y para la expresión del logaritmo contienen exponenciación, se puede aplicar la siguiente identidad por simplicidad:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Esta identidad se obtiene inmediatamente si, en el logaritmo de la izquierda, la base se reemplaza por según la fórmula de cambio de base anterior. Consecuencias: $un^{q}$ $a$

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n \log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

Otra identidad útil:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

Para demostrarlo, observamos que los logaritmos de los lados izquierdo y derecho coinciden en base (igual ), y luego los lados izquierdo y derecho son idénticamente iguales. Tomando el logaritmo de la identidad anterior en una base arbitraria , obtenemos otra identidad de “intercambio de base”: $a$ ${\ estilo de visualización \ log _ {a} b \ cdot \ log _ {a} c}$ $d,$

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Esta identidad se puede extender fácilmente a cualquier número de factores, por ejemplo:

\log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{d}w=\log _{b}x\cdot \log _ {d}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{a}w

En otras palabras, en un producto de este tipo se puede hacer una permutación arbitraria de las bases de los logaritmos.

x^{\frac {\log _{a}b}{\log _{a}x}}=b

Esta identidad también es fácil de probar llevando el logaritmo de ambos lados a la base $X.$

\log _{xy}a={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}a}}+{\frac {1}{\log _{y}a} }}}

Para probar esta identidad, necesitamos aplicar la regla de permutación anterior dos veces:

{\frac {1}{\log _{x}a}}=\log _{a}x;\quad {\frac {1}{\log _{y}a}}=\log _ {a}y;\quad {\frac {1}{\log _{a}(xy)))=\log _{xy}a

Identidades analíticas

Proporciones límite

Aquí hay algunos límites útiles relacionados con los logaritmos [4] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty} {\frac {\log _{a}x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\derecha)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Derivada e integral

La derivada de la función logarítmica se calcula mediante la fórmula:

{d \sobre dx}\ln x={1 \sobre x},

{\displaystyle {d \sobre dx}\log _{a}x={1 \sobre x\ln a}={\log _{a}e \sobre x))

Definición del logaritmo a través de una integral definida :

\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt

Antiderivada del logaritmo:

\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C

{\ estilo de visualización \ int \ ln x \, dx = x (\ ln x-1) + C}

Para dar fórmulas para integrales de alto orden, denotamos el orden del número armónico e : ${\ estilo de visualización H_ {n} \ n-}$

H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\puntos +{\frac {1} {norte}}

A continuación, denotamos:

x^{\left[0\right]}=\ln x

x^{\left[n\right]}=x^{n}(\ln x-H_{n});\quad

( )

{\ estilo de visualización n = 1,2,3 \ puntos}

Obtenemos una secuencia de funciones:

{\ estilo de visualización x ^ {\ izquierda [1 \ derecha]} = x \ ln xx}

x^{\left[2\right]}=x^{2}\ln x-{\begin{matriz}{\frac {3}{2}}\end{matriz}}\,x^ {2}

x^{\left[3\right]}=x^{3}\ln x-{\begin{matriz}{\frac {11}{6}}\end{matriz}}\,x^ {3}

etc. Entonces las identidades se mantienen:

{\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]};\quad

( )

{\ estilo de visualización n = 1,2,3 \ puntos}

\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C;\quad

( )

n=0,1,2,3\puntos

Notas

↑ Álgebra y el comienzo del análisis. Libro de texto para los grados 10-11. 12ª edición, Moscú: Ilustración, 2002. Págs. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 187.
↑ Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1973 , p. 34.
↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , Volumen I, p. 164.

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales . — M .: Nauka, 1978.
- Reedición: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . — M .: Nauka, 1973. — 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - ed. 6to. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.
Shakhmeister A. Kh. Logaritmos. Manual para escolares, ingresantes y docentes. - ed. 5to. - San Petersburgo. : MTSNMO, 2016. - 288 p. - ISBN 978-5-4439-0648-5 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Logarithm (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .